[作业存档]数值分析作业

第一题

令$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，对$f$进行如下插值：

（1）令插值节点为等距节点$-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5$，在这些节点对$f$进行Lagrange插值和Hermite插值；

（2）令插值节点为区间$[-5,5]$上的11次切比雪夫多项式的零点，在这些节点处对$f$进行Lagrange插值；

（3）令插值节点为等距节点$-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5$，在这些节点对$f$进行分段线性插值和分段三次Hermite插值；

（4）令插值节点为等距节点$-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5$，在这些节点对$f$进行三次样条插值，其中边界条件为第一类边界条件，在两个端点处导数为1，即$f^{\prime }(-5)=f^{\prime }(5)=1$.

在第一题，用数组x储存等距插值节点，用数组y储存等距插值节点在原函数上的值，用数组dy储存等距插值节点在原函数上的一阶导数值，用数组a储存需要使用插值函数进行计算的节点，用数组b储存使用插值函数计算的a对应的值。

第一问

(a)算法分析

拉格朗日插值

n次拉格朗日插值基函数为：
$$l_k=\frac{(x-x_0)...(x-x_{k-1})...(x-x_{k+1})...(x-x_n)}{(x_k-x_0)...(x_k-x_{k-1})...(x_k-x_{k+1})...(x_k-x_n)}$$
拉格朗日插值多项式为：
$$L_n(x)=\sum _{k=0}^n{y}_k{l}_k(x)$$
对于每个a[i] (i=0,1,2,…,10)
$$\begin{array}{rl}{b}_i& =\overrightarrow{l_i}\cdot \vec{y}\\ \overrightarrow{l_i}& =(l_0(a_i),l_1(a_i),...,l_{10}(a_i))\\ \vec{y}& =(y_0,y_1,..,y_{10})\end{array}$$

计算过程:

先计算拉格朗日插值基函数$l_k(a_i)$。对数组x取负，并在每一项上加上$a_i$，记作数组p，将数组p的第k项改成1，将数组p所有元素相乘，得到基函数的分子；对数组x取负，并在每一项上加上x[k]，记作数组q，将数组q的第k项改成1，将数组q所有元素相乘，得到基函数的分母。分子分母相除即得到$l_k(a_i)$。重复计算获得$\overrightarrow{l_i}$。根据公式(3)，即可获得$b_i$,重复计算即可获得b。

def lag(a,x,y):#a 待插值点 x y已知点
    b=np.zeros(len(a))
    n=len(x)
    for j in range(len(a)):
        l=np.array([lk(i,a[j],x) for i in range(n)])
        b[j]=np.dot(y,l)
    
    return b

def lk(k,a,x):#计算拉格朗日插值多项式的值 插值基函数
    p=a-x
    p[k]=1
    fz=np.cumprod(p)[-1]
    q=x[k]-x
    q[k]=1
    fm=np.cumprod(q)[-1]
    return fz/fm

Hermite插值

Hermite插值要求插值节点的值相等，插值节点的一阶导数值相等，记Hermite插值多项式为$H(x)$，$f(x_k)$的值为$y_k$，一阶导数值为$m_k$，即
$$\{\begin{array}{l}H(x_k)=y_k\\ H^{\prime }(x_k)=m_k,i=0,1,..,n\end{array}$$
因此，共有2(n+1)个条件，可以确定一个次数不超过2n+1次的多项式。仿照朗格朗日插值多项式，设
$$\begin{array}{rl}H(x)& ={\alpha }_0(x)y_0+{\beta }_0(x)m_0+{\alpha }_1(x)y_1+{\beta }_1(x)m_1+...+{\alpha }_0(x)y_n+{\beta }_0(x)m_n\\ & =\sum _{k=0}^n({\alpha }_k(x)y_k+{\beta }_k(x)m_k)\end{array}$$
且${\alpha }_k(x)$,${\beta }_k(x)$需满足
$$\{\begin{array}{l}{\alpha }_k(x_i)=\{\begin{array}{l}0,i\ne k\\ 1,i=k\end{array}\\ {\alpha }_k^{\prime }(x_i)=0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}{\beta }_k(x)=0\\ {\beta }_k^{\prime }(x_i)=\{\begin{array}{l}0,i\ne k\\ 1,i=k\end{array}\end{array}$$
基于拉格朗日基函数$l_i(x)$解得
$$\begin{gathered} {\beta }_k(x)=(x-x_k)l_k^2(x) \\ {\alpha }_k(x)=\left[1-2(x-x_k)\sum _{i=0,i\ne 1}^n\frac{1}{x_k-x_i}\right]l_k^2(x) \end{gathered}$$
计算过程：

调用上一部分中计算拉格朗日基函数的函数计算得到$l_k(a_i)$。重复计算得到向量$\overrightarrow{l^2(a_i)}=(l_0^2(a_i),l_1^2(a_i),...,l_{10}^2(a_i))$，每项乘以系数$(a_i-x_0,a_i-x_1,...,a_i-x_{10})$，得到$\overrightarrow{\beta (a_i)}=({\beta }_0(a_i),{\beta }_1(a_{}$