齐次坐标的分析

一、齐次坐标的理解

“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”—— F.S. Hill, JR。

• 向量

  对于一个向量$\vec{v}$以及基$oabc$，可以找到一组坐标$(v_1,v_2,v_3)$，使得
  $$\vec{v}=v_1\vec{a}+v_2\vec{b}+v_3\vec{c}\text{\hspace{1em}(1)}$$

• 点

  而对于一个点$p$，则可以找到一组坐标$(p_1,p_2,p_3)$，使得
  $$p-o=p_1\vec{a}+p_2\vec{b}+p_3\vec{c}\text{\hspace{1em}(2)}$$

从上面对向量和点的描述，可以看出为了在坐标系中表示一个点，可把点的位置看作是对这个基的原点$o$所进行的一个位移，即一个向量$p–o$（有的书中把这样的向量叫做位置向量，起始于坐标原点的特殊向量）。

参考向量的描述形式，修改点的描述方程：
$$p=o+p_1\vec{a}+p_2\vec{b}+p_3\vec{c}\text{\hspace{1em}(3)}$$
(1)(3)是坐标系下向量和点的描述方式，这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但描述一个点比一个向量需要额外的信息。如果写出一个代数分量(1, 4, 7)，我们无法分辨其是向量或者点。

我们现在把(1)(3)写成矩阵的形式：
$$\begin{gathered} \vec{v}=\left[\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& v_3& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ o\end{array}\right] \\ p=\left[\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& v_3& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ o\end{array}\right] \end{gathered}$$
这里$(a,b,c,o{)}^T$是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量$\vec{v}$和点$p$在基下的坐标。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：

• 三维坐标下向量的第4个代数分量是0
• 三维坐标下点的第4个代数分量是1

像这种这种用4个代数分量表示三维几何概念的方式即为一种齐次坐标表示。

下面为在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换：

• 普通坐标转换到齐次坐标
  • 点：$(x,y,z)\to (x,y,z,1)$
  • 向量：$(x,y,z)\to (x,y,z,0)$
• 齐次坐标转换到普通坐标
  • 点：$(x,y,z,1)\to (x,y,z)$
  • 向量：$(x,y,z,0)\to (x,y,z)$

二、齐次坐标在变换中的应用

在欧氏变换中一般有两种操作：旋转和平移。如果我们想要将向量$\vec{a}$进行一个标准的欧氏变换，一般是先用旋转矩阵$R$进行旋转，然后再用向量$t$进行平移，结果为：
$$a^{\prime }=R\ast a+t$$
在单次变换下这种操作没有问题，但在连续的欧氏变换下，会有多次连续的旋转和平移，假设我们对向量$\vec{a}$进行了两次欧氏变换，分别为$R_1,t_1$和 $R_2，t_2$，分别得到：
$$\begin{gathered} b=R_1\ast a+t_1 \\ c=R_2\ast b+t_2 \end{gathered}$$
最终变换结果为
$$c=R_2\ast (R_1\ast a+t_1)+t_2$$
显然，这样的变换在经过多次后会变的越来越复杂，造成这一问题的原因为上述表达方式并不是一个线性的变换关系，平移$t$为加法。

此时使用齐次坐标，可以将加法转化为乘法，方便地表达平移：

• 非齐次下的平移变换：
  $$\left[\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}u+t_u\\ v+t_v\end{array}\right]$$

• 齐次下的平移变换：
  $$\left[\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ v^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_u\\ 0& 1& t_v\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]$$

采用齐次后的坐标变换为：
$$\left[\begin{array}{c}{a}^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ 1\end{array}\right]=T\left[\begin{array}{c}a\\ 1\end{array}\right]$$
采用齐次后旋转和平移可以用一个矩阵$T$来表示，该矩阵称为变换矩阵（transform matrix），这样欧氏变换就变成了线性关系，进行多次欧氏变换只需要连乘变换矩阵即可。

参考

关于齐次坐标的理解

齐次坐标的理解

从零开始一起学习SLAM | 为什么要用齐次坐标？