算法提高 欧拉函数

说明

　　2016.4.5 已更新试题，请重新提交自己的程序。

问题描述

　　给定一个大于1，不超过2000000的正整数n，输出欧拉函数，phi(n)的值。
　　如果你并不了解欧拉函数，那么请参阅提示。

输入格式

　　在给定的输入文件中进行读入：
　　一行一个正整数n。

输出格式

　　将输出信息输出到指定的文件中:
　　一行一个整数表示phi(n)。

样例输入

17

样例输出

16

提示

　　欧拉函数phi(n)是数论中非常重要的一个函数，其表示1到n-1之间，与n互质的数的个数。显然的，我们可以通过定义直接计算phi(n)。
　　当然，phi(n)还有这么一种计算方法。
　　首先我们对n进行质因数分解，不妨设n=p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak （这里a^b表示a的b次幂，p1到pk为k个互不相同的质数，a1到ak均为正整数），那么
　　phi(n)=n(1-(1/p1))(1-(1/p2))....(1-(1/pk))
　　稍稍化简一下就是
　　phi(n)=n(p1-1)(p2-1)...(pk-1)/(p1*p2*...*pk)

计算的时候小心中间计算结果超过int类型上界，可通过调整公式各项的计算顺序避免(比如先做除法)!

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const int Maxn=2000000;
int phi[Maxn];
void Euler1()
{
    for(int i=1; i<Maxn; i++)
        phi[i]=i;
    for(int i=2; i<Maxn; i++)
        if(i==phi[i])//prime
            for(int j=i; j<Maxn; j+=i)
                phi[j]=(phi[j]/i*(i-1));
}
//定义
int Euler2(int n)
{
    int m=(int)sqrt(n+0.5);
    int ans=n;
    for(int i=2; i<=m; i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1)
        ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
//类似于筛选法
void Euler3(int n)
{
    for(int i=2; i<=n; i++)
        phi[i]=0;
    phi[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        if(!phi[i])
        {
            for(int j=i; j<=n; j+=i)
            {
                if(!phi[j]) phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    Euler3(Maxn);
    int n;
    cin >> n;
        cout<< phi[n] << endl;
    return 0;
}