欧拉通路、欧拉回路、欧拉图和半欧拉图以及 Hierholzer 算法

概念：欧拉通路（又称欧拉路径）、欧拉回路、欧拉图和半欧拉图

定义

• 通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的通路称为欧拉通路（又称欧拉路径）。
• 通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。
• 具有欧拉回路的图称为欧拉图（Eulerian graph）。
• 具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图（semi-Eulerian graph）。
• 欧拉回路是欧拉路径，欧拉路径不一定是欧拉回路。

特征

1.在无向图中：
​​  无向图G为欧拉图，当且仅当 G为连通图 且 所有顶点的度为偶数。
​​  无向图G为半欧拉图，当且仅当 G为连通图 且 除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。

2.在有向图中：
​​  有向图G为欧拉图，当且仅当 G为连通图 且 所有顶点的入度等于出度。
​​  有向图G为半欧拉图，当且仅当 G为连通图 且 存在某一顶点的入度比出度大1，还存在另一个顶点的入度比出度小1，而其它所有顶点的入度等于出度。

其中我们可以发现：对于有向图的半欧拉图，它的欧拉路径的起点的度是出度 = 入度+1，终点的度是入度 = 出度+1。

连通图类型	欧拉路径的顶点特征	欧拉回路的顶点特征
无向图	度为奇数的顶点数为 0 或 2	度为奇数的顶点数为 0
有向图特征	起点的入度 - 出度 = -1，终点的入度 - 出度 = 1， 其余顶点的入度 = 出度	每个顶点的入度 = 出度

Hierholzer 算法

​​  Hierholzer 算法证明了一点：当存在欧拉路径或欧拉回路时，从合理的起点一直执行 DFS 遍历，最后得到的路径一定是欧拉路径或欧拉回路。

Hierholzer 算法用于寻找欧拉路径或欧拉回路（该算法假定图有欧拉路径或欧拉回路），其流程如下：

• 从起点出发，进行深度优先搜索（DFS）；
• 每次沿着某条边从某个顶点移动到另外一个顶点的时候，都将这条边标记为已走过；
• 如果遇到阻塞（即当前顶点没有后续邻边或该顶点的邻边都走过），则将当前顶点加入到栈中，并回溯到上一顶点查找其可移动到的顶点。

Hierholzer 算法的重要性质——即它是如何找到欧拉路径或欧拉回路：

1. 使用 Hierholzer 算法后，如果该图为欧拉图，则栈底的必定为起点。如果该图为半欧拉图，则栈底的是与起点不同的另外一个奇度数顶点。——实际上栈底存储的都是终点，只是欧拉回路的终点就是起点。

证明：（下面的度数都是指出度 + 入度，下面的当前顶点是指入栈时的顶点）
​​  当顶点入栈时，说明当前顶点没有相邻边。
​​​​  考虑到从起点出发到当前结点的路径中，除了起点和当前顶点外，其他的顶点都失去了偶数度数。（比如A->B->C->B->D，可以看出，除了起点A和当前顶点D，其它的顶点B和C都是至少一次一进一出，入度和出度失去的个数合起来就是偶数度数，C失去了1个入度和出度，B失去了2个入度和出度）
​​​​  关键的是：如果起点和当前顶点不同，那么两者都失去了奇数度数。如果起点和当前顶点相同，则起点失去了偶数度数。（途经一顶点时，那个顶点会失去偶数度数。停留在某顶点时，会失去奇数度数，而当前顶点此时的度数为0，所以当前顶点的初始度数为奇数度数）
​​  如果图中包含欧拉回路，意味着所有顶点的初始度数都是偶数。而当前顶点的当前度数为0，表示当前顶点的初始度数必定是奇数，这与欧拉图的特征产生矛盾，因此假设不成立。所以对于欧拉图，当前顶点就是起点。
​​​​  同样地，对于欧拉路径，当前顶点不可能是起点，否则起点的初始度数就是偶数。而欧拉路径中起点和终点的度数一定是奇数。因此，当前顶点不是起点，但是它的初始度数也是奇数，所以一定是欧拉路径的终点。

2. 如果该图为欧拉图或半欧拉图，则栈中的自底到顶的第 $N$ 个顶点就是欧拉回路或欧拉路径上的第 $N$ 个顶点。

证明：（ $\mathrm{deg}$ 表示度数）​​
  在此只证明栈中相邻顶点在图中也为相邻顶点。因为模拟 Hierholzer 算法过程，可知该算法实际上就是在模拟“一笔画”过程，并且沿着画完的轨迹，从终点开始逆序逐一添加顶点到栈中。
​​  下面主要以 $n=2$ 的情况为例，后面的情况可以此类推。并且为了不用纠结于区分欧拉回路和欧拉路径，不妨以半欧拉图为例。
​​  假设图中存在相邻的两顶点 $V_1{V}_2$，并且 DFS 的过程中，先访问 $V_2$ 随后访问了 $V_1$，并且 $V_1$ 成为第一个入栈的顶点。由性质一可知， $V_1$ 就是欧拉路径上的终点（入度 - 出度 = 1 的顶点为终点）。
​​  根据 Hierholzer 算法可知，在遍历过程中，因为删除了途径的边，所以此时路径中途经的所有顶点（包括起点和终点 $V_1$ ）的度数都为偶数（0或非0偶数）。那么当然 $\mathrm{deg}(V_2)$ 也是偶数，接下来就分类讨论。

• 如果 $\mathrm{deg}(V_2)=0$ ，也就是说当前顶点 $V_2$ 成为第二个入栈的顶点，那么 $n=2$ 的情况就证毕了。
• 如果 $\mathrm{deg}(V_2)>0$ （即不为 0 的偶数），那么考虑当前包含 $V_2$ 的子图 $G$ ，显然 $G$ 是一个欧拉图，那么当前以 $V_2$ 为起点继续实施 Hierholzer 算法遍历剩下的相邻边，根据性质一， $V_2$ 将会是 $G$ 中第一个入栈的顶点。也就是， $V_2$ 是原图中第二个入栈的顶点。

​​  对于第二种情况我们来举例讨论下：

  假设 JFK 先前往 KUL，即 JFK->KUL，可以看出 $\mathrm{deg}(JFK)>0$ 且是偶数，此时我们考虑当前包含 $JFK$ 的子图，很明显这是一个欧拉图，那么由其定义我们可以知道，该子图第一个入栈的一定是 $JFK$。所以 $JFK$ 是原图中紧接着 $KUL$ 入栈的第二个顶点。
​​  综上所述，以此类推， $V_{n-1}$ 入栈前最后接触过的 $V_n$ 将会是第 $n$ 个入栈的顶点，再结合直观理解， $V_n$ 就是路径上的第 $n$ 个顶点。