[数据结构]树状数组专辑

树状数组蛮简单的说~

资料参考：百度百科讲的还是蛮清楚的

摘录一些重要的：

• 一般应用于数组求和， 数据更新。
• 树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构
• 比较：树状数组是一个可以很高效的进行区间统计的数据结构。在思想上类似于线段树，比线段树节省空间，编程复杂度比线段树低，但适用范围比线段树小。

比较重要的地方是

1. 树状数组一般都是实时更新实时使用
2. 下标从一开始

模板： 一维树状数组

const int N = 32005;
int num[N];
int lowbit(int x)
{
	return x & (-x);
}
int getsum(int x)
{
	int sum = 0;
	while(x>0)
	{
		sum += num[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return sum;
}
void update(int x, int value)
{
	while(x<=N)
	{
		num[x] += value;
		x += lowbit(x);
	}
}
int main()
{
	int n, i, x;
	while(~scanf("%d", &n))
	{
		memset(num, 0, sizeof(num));
		for(i=0;i<n;i++)
		{
			scanf("%d", &x);
			x++;						//注意， 树状数组的下标必须从一开始！
			printf("%d\n", getsum(x));	//实时更新使用
			update(x, 1);
		}
	}
}

二维模板， 和一维差不多

long long num[MAX][MAX] = {0};
int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
int getsum(int x, int y)
{
	int sum = 0, my = y;
	for(;x>0;x-=lowbit(x))
	{
		for(y=my;y>0;y-=lowbit(y))
			sum += num[x][y];
	}
	return sum;
}
void update(int x, int y, long long val, int n)
{
	int my = y;
	for(;x<=n;x+=lowbit(x))
	{
		for(y=my;y<=n;y+=lowbit(y))
			num[x][y] += val;
	}
}

----------------------------------------------------------吾之名为分割线-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

还有一个比较蛋疼的问题是数据范围可能很大，大到数组无法容下， 这时候可以尝试下离散化

离散化：当数据只与它们之间的相对大小有关，而与具体是多少无关时，可以进行离散化

例如：

设有4个数：
1234567、123456789、12345678、123456
排序：123456<1234567<12345678<123456789
           =>     1     <        2       <        3       <        4
那么这4个数可以表示成：2、4、3、1

使用STL算法离散化：
思路：先排序，再删除重复元素，然后就是索引元素离散化后对应的值。
假定待离散化的序列为a[n]，b[n]是序列a[n]的一个副本，则对应以上三步为：

代码：

for(i=0;i<n;i++)
	sub_a[i] = a[i];//创建一个原数组的副本， 一般可以在输入时完成
/* 离散化三部曲*/
sort(sub_a,sub_a+n);
int size=unique(sub_a,sub_a+n)-sub_a;//size为离散化后元素个数
for(i=0;i<n;i++)
	a[i]=lower_bound(sub_a,sub_a+size,a[i])-sub_a + 1;//k为b[i]经离散化后对应的值

对于第3步，若离散化后序列为0, 1, 2, ..., size - 1则用lower_bound，从1, 2, 3, ..., size则用upper_bound，其中lower_bound返回第1个不小于b[i]的值的指针，而upper_bound返回第1个大于b[i]的值的指针，当然在这个题中也可以用lower_bound然后再加1得到与upper_bound相同结果，两者都是针对以排好序列。使用STL离散化大大减少了代码量且结构相当清晰。