[动态规划]线性（一维/串、环）模型

线性模型

一个序列、一串数字或者是一个字符串等等
对于“环”，我们可以将其展开形成“非环”，通常可以待操作的串复制一遍接在后面，形成双倍长度的串来表示原先的环。
例题：

• 最大子串和
• 最长上升子序列（LIS）
• 矩阵连乘

• 最大子串和

题目大意：
           给出一个整数串a，a[i]表示其中的第i个整数，a[i]有正有负，求其中一个连续子串，使得该子串的和最大。
状态表示：
           f[i]表示以第i个整数结尾的子串所能得到的最大和。
状态转移方程：

           f[i]=max{f[i-1]+a[i] , a[i]}

边界条件：

f[0]=a[0]

实现略， 时间复杂度和空间复杂度都是O（n）

• 最大上升子序列

题目大意：
           给出一个整数串a，a[i]表示其中的第i个整数，的求其中最长的一个子序列，使得该子序列是递增的。
           子序列的定义：
           设a的长度为n，对于一个长度为m（m<=n）的串b，对于任意i(0<i<m-1)有0<b[i]<n，且b[i]<b[i+1]。

则a[b[0]],a[b[1]],……,a[b[m]]，是a的一个子序列。简单来说子序列就是元素可不连续的子串。

状态表示：

f[i]表示以第i个数为结尾的子序列的最大长度。

状态转移方程：

f[i]=max{f[j]+1,f[i]}(0<=j<i && a[j]<a[i])

边界条件：

见代码

实现一， 时间复杂度和空间复杂度都是O（n^2）

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100;
int main()
{
	char s1[N], s2[N];
	int f[N][N];
	int i, j;
	scanf("%s", s1);
	scanf("%s", s2);

	int l1 = strlen(s1);
	int l2 = strlen(s2);
	for(i=0;i<=l1;i++)
		f[l1][0] = 0;  //边界条件
	for(i=0;i<=l2;i++)
		f[0][l2] = 0;  //边界条件
	for(i=1;i<=l1;i++)
	{
		for(j=1;j<=l2;j++)
		{
			if(s1[i-1]==s2[j-1])
				f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1;
			else
				f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1]);
		}
	}
	printf("%d\n", f[l1][l2]);

}

实现二， 时间复杂度 O（n logn）

贪心+二分查找：
开辟一个栈，每次取栈顶元素s和读到的元素a做比较，如果a>s，  则加入栈；如果a<s，则二分查找栈中的比a大的第1个数，并替换。  最后序列长度为栈的长度。  
这也是很好理解的，对x和y，如果x<y且E[y]<E[x],用E[x]替换  E[y],此时的最长序列长度没有改变但序列Q的''潜力''增大, 即构建一个接纳能力最强的序列。

这里就要运用二分查找了，当查找元素T结束时， l>r, 而在在这个递增序列中， E[l]=>T>=E[r]， 这样可以快速的返回该序列中小于T的最大值或大于T的最小值。

to be continued。