【2021牛客多校】第一场G-Game of Swapping Numbers

题目

输入输出样例

题目大意：

对于数组大小为 n 的两个数组 a，b，在a上进行 k 次交换，使得 ${\sum }_{i=1}^n|a_i-b_i|$ 最大。
其实对于绝对值计算，可以等价于为数字加上+，-的符号，例如：$a_i$=3，$b_i$=1，则|$a_i-b_i$|=+3+(-1)。
先不考虑 k 步交换操作。由于 a 数组时可以交换的，所以题目可以看作是给给 a,b 数组的所有数字分配正负符号，满足正负符号的个数相等的条件下，使得所有数之和最大。
现在考虑 k :

结论:n>2时，恰好 k 步与至多 k 步是等价的

当 n>2 时，a 中一定至少存在两个 + 号或两个 - 号，此时如果我们交换这两个符号对应的数，则并不会使得原问题的解变得更劣,等于是无效操作，只为凑到 k 步。
n=2 需要特殊判断。

贪心思想

我们希望每一步交换都是得到当前最优的值，那么交换 $a_i,a_j$ 增加的值能不能量化呢？我们来试一试。
对于 $(a_i,b_i),(a_j,b_j)$ ，由于绝对值的存在， $|a_i-b_i|$= $max(a_i,b_i)-min(a_i,b_i)$，所以我们可以对 a,b 数组做交换的操作，使得 a 数组存取较大值，b 数组存取较小值，所以$a_i>b_i,a_j>b_j$ 。
接下来只需要讨论 $b_i$ 与 $a_j$ 的大小，即可确定四个数字的大小关系，即可计算增加的值。
当 $b_i>a_j$ 时：
初始：$|a_i-b_i|+|a_j-b_j|=a_i+a_j-b_i-b_j$
交换后：$|a_i-b_j|+|a_j-b_i|=a_i+b_i-a_j-b_j$
做差为：$2\ast b_i-2\ast a_j=2\ast min(a_i,b_i))-2\ast max(a_j,b_j))$

当 $b_i<a_j$ 时:
初始：$|a_i-b_i|+|a_j-b_j|=a_i+a_j-b_i-b_j$
交换后：$|a_i-b_j|+|a_j-b_i|=a_i+a_j-b_i-b_j$
做差为：0（无意义交换）

所以，我们只要取出最大的 k 个 $2\ast min(a_i,b_i))-2\ast max(a_j,b_j))$ 即可得到最优值，如果还没有到 k 步差值就小于等于0，那么就可以提前结束了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#define ll long long
#define qc ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
const int MAXN = 5e5 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll n,k,ans;
int a[MAXN],b[MAXN];

int main()
{
//	freopen("in.txt", "r", stdin);
	qc;
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>b[i];
		if(b[i]>a[i])//a[i]中为较大值  b[i]为较小值 
			swap(b[i],a[i]);
		ans+=(a[i]-b[i]); 
	}
	sort(a+1,a+1+n);//从小到大排序
	sort(b+1,b+1+n,greater<int>());//从大到小排序
	int tmp;
	for(int i=1;i<=k&&i<=n;i++)
	{
		tmp=2*(b[i]-a[i]);//交换的优化：2*(min(a1,b1)-max(a2,b2))
		if(tmp>0)
			ans+=tmp;
		else
			break;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

碎碎念：

思路很巧妙，但是比赛的时候想不到，orz。一看到交换还有绝对值，就觉得好麻烦，但是没想到这个竟然可以量化计算。