算法与竞赛(第11章) - 数论进阶

第1关：模算术

任务描述
本关任务：掌握模运算的基本操作，并编程实现整数a和整数b的乘积在模n运算下的结果abmodn，以及整数a的p次幂在模n运算下的结果a
p
modn，其中0<a,b,p,n<100000009。

相关知识
为了完成本关任务，你需要掌握：1.模运算的性质，2.快速幂运算。

模运算的性质
模运算实际上就是求余运算，在数学中用符号mod表示，C语言中用符号来代表运算操作符，例如3。模n运算的数学定义如下：

给定一个正整数n，对任意一个整数a，一定存在等式a=kn+b，其中称k为a除以n的商，称b为a除以n的余数，记为b=amodn。

根据模运算的定义，可推倒出如下性质的公式：

(a+b)modn=((amodn)+(bmodn))modn

(a−b)modn=((amodn)−(bmodn)+n)modn

abmodn=(amodn)(bmodn)modn

在模n运算前先分别对a和b取模是为了防止运算结果溢出，特别的，a−b的运算可能出现负数，所以在减法运算后+n以保证运算结果为正。

快速幂运算