动态规划:踩方格

矩阵行走算法

最新推荐文章于 2025-03-17 11:11:36 发布

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本文探讨了一个在无限大的方形矩阵中行走的问题，给出了详细的解决方案与代码实现。行走规则包括只能向北、东、西三方向移动，且不能重复经过同一格。

描述

有一个方格矩阵，矩阵边界在无穷远处。我们做如下假设：
a.    每走一步时，只能从当前方格移动一格，走到某个相邻的方格上；
b.    走过的格子立即塌陷无法再走第二次；
c.    只能向北、东、西三个方向走；
请问：如果允许在方格矩阵上走n步，共有多少种不同的方案。2种走法只要有一步不一样，即被认为是不同的方案。

输入

允许在方格上行走的步数n(n <= 20)

输出

计算出的方案数量

样例输入

样例输出

题目要求只能向三个方向走，走过的不能再走，走n步能有几种方法；

思路如下：

f[i]代表走i步的方法数；

思路一：（这种思路是网上搜到的，引出了思路二）

1.第i步向北走，有f[i-1]种方法；

2.第i-1步向北走的，第i步可以向东西走，那么有2*f[i-2]种方法；

3.第i-1步向北走的有f[i-2]种，第i-1步向东或者西走，然后第i步不向北走有f[i-1]-f[i-2]种；

最终有f[i]=f[i-1]+2*f[i-2]+(f[i-1]-f[i-2])种方法；

思路二：（其实就是思路一化简）

1.第i步至少可以向两个方向移动有2*f[i-1]种方法；

2.第i-1步向北的，第i步多一种方法，就是f[i-2]种；

最终有2*f[i-1]+f[i-2]种方法；

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
        int n,i,f[25]={1,3};
        cin>>n;
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
                f[i]=2*f[i-1]+f[i-2];   //f[i]=f[i-1]+2*f[i-2]+(f[i-1]-f[i-2])
        }
        cout<<f[n]<<endl;
}