最大子列和问题（四种方法 ！！！终极版本）

题目

给定K个整数组成的序列{ N1, N​2 , …, N​K }，“连续子列”被定义为{ Ni , N​i+1​​ , …, Nj}，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

数据1：与样例等价，测试基本正确性；
数据2：102个随机整数；
数据3：103个随机整数；
数据4：104个随机整数；
数据5：105个随机整数；
输入格式:
输入第1行给出正整数K (≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式:
在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:
6
-2 11 -4 13 -5 -2
输出样例:
20

解法

这里先贴一下主函数，之后每一次调用改一下函数名就可以啦~~~

#include <stdio.h>
#define MAXN 100000

int main()
{
	int k;
	int a[MAXN];

	scanf("%d", &k);
	for (int i = 0; i < k; i++)
		scanf("%d", a + i);

	printf("%d", MaxSubseqSum3(a, k));
	return 0;
}

算法一
时间复杂度 O（N^3）

int MaxSubseqSum1(int A[], int N)
{
	int thissum, maxsum = 0;
	int i, j, k;

	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		for (j = i; j < N; j++)
		{
			thissum = 0;
			for (k = i; k <= j; k++)
				thissum += A[k];

			if (thissum > maxsum)
				maxsum = thissum;
		}
	}

	return maxsum;
}

算法一当中存在大量的重复，在每一次计算thissum的时候都会把原先算过的结果重新算上，所以我们有了第二种算法。

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算法二
时间复杂度 O（N^2）

int MaxSubseqSum2(int A[], int N)
{
	int thissum, maxsum = 0;
	int i, j;

	for (i = 0; i < N - 1; i++)
	{
		thissum = 0;
		for (j = i; j < N; j++)
		{
			thissum += A[j];

			if (thissum > maxsum)
				maxsum = thissum;
		}
	}

	return maxsum;
}

运行结果：

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算法三：分治法
分而治之 时间复杂度O（N * logN）

分而治之：
分——就是把问题一分为二，递归求解。
治——将子问题的结果合在一起，再做少量工作得到整个问题的解。

对于本题，最大子序列需要考虑删除地方：左边、右边和跨越中间。

int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
    return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}

int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
    int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/

    int LeftBorderSum, RightBorderSum;
    int center, i;

    if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */
        if( List[left] > 0 )  return List[left];
        else return 0;
    }

    /* 下面是"分"的过程 */
    center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
    /* 递归求得两边子列的最大和 */
    MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
    MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );

    /* 下面求跨分界线的最大子列和 */
    MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
    for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
        LeftBorderSum += List[i];
        if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
    } /* 左边扫描结束 */

    MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
    for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
        RightBorderSum += List[i];
        if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
    } /* 右边扫描结束 */

    /* 下面返回"治"的结果 */
    return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}

int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
{ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
    return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
}

---

算法四：在线处理
时间复杂度： O（N）

int MaxSubseqSum4(int A[], int N)
{
	int thissum = 0, maxsum = 0;
	int i;

	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		thissum += A[i];
		if (thissum > maxsum)
			maxsum = thissum;
		else if (thissum < 0)
			thissum = 0;
	}
	return maxsum;
}

欢迎留言指正哦~~~

最后贴一个有问题的算法三代码，不知道哪里错了，路过的大神帮帮忙：）

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <stdio.h>
#define MAXN 100000

int Max3(int A, int B, int C)
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
	return (A > B) ? (A > C ? A : C ) : (B > C ? B : C);
}

int DivideAndConquer(int List[], int left, int right)
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
	int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
	int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /* 存放跨分界线的结果 */
	
	int LeftBorderSum, RightBorderSum;
	int center, i;

	/* Base Case */
	if (left == right)
	{
		if (List[left] > 0)
			return List[left];
		else
			return 0;
	}

	/* "分"的过程 */
	center = (left + right) / 2;
	/* 递归求得两边子列的最大和 */
	MaxLeftSum = DivideAndConquer(List, left, center);
	MaxRightSum = DivideAndConquer(List, center + 1, right);

	/* 求跨分界线的最大子列和 */
	MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
	for (i = center; i >= left; i--)
	{  /* 从中线向左扫描 */
		LeftBorderSum += List[i];
		if (LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum)
			MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
	} /* 左边扫描结束 */

	MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
	for (i = center + 1; i <= right; i++);
	{ /* 从中线向右扫描 */
		RightBorderSum += List[i];
		if (RightBorderSum > MaxRightBorderSum)
			MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
	} /* 右边扫描结束 */

	/* 返回“治”的结果 */
	return Max3(MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum);
}

int MaxSubseqSum3(int List[], int N)
{ /* 保持函数接口相同 */
	return DivideAndConquer(List, 0, N - 1);
}

int main()
{
	int k;
	int a[MAXN];

	scanf("%d", &k);
	for (int i = 0; i < k; i++)
		scanf("%d", a + i);

	printf("%d", MaxSubseqSum3(a, k));
	return 0;
}