求最大子列和的四种算法

1. 给定N个整数的序列{ A1, A2, …, AN}，其中可能有正数也可能有负数，找出其中连续的一个子数列（不允许空序列），使它们的和尽可能大，如果是负数，则返回0。使用下列函数，完成分治法求最大子列和。

算法一，穷举法T( N ) = O( N3 )

思想：算法思想：算出每个子序列的和，即算出序列中第i个到第j个数的和(j>=i)，并进行比较

int MaxSubseqSum1( int A[], int N )
{ int ThisSum, MaxSum = 0;
  int i, j, k;
  for( i = 0; i < N; i++ ) { /* i是子列左端位置*/
    for( j = i; j < N; j++ ) { /* j是子列右端位置*/
       ThisSum = 0; /* ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和*/
       for( k = i; k <= j; k++ )
         ThisSum += A[k];
       if( ThisSum > MaxSum ) /* 如果刚得到的这个子列和更大*/
         MaxSum = ThisSum; /* 则更新结果*/
    } /* j循环结束*/
  } /* i循环结束*/
return MaxSum;

算法二T( N ) = O( N2 )

对上一个算法的改进，减少重复计算

int MaxSubseqSum2( int A[], int N )
{ int ThisSum, MaxSum = 0;
  int i, j;
  for( i = 0; i < N; i++ ) { /* i是子列左端位置*/
    ThisSum = 0; /* ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和*/
    for( j = i; j < N; j++ ) { /* j是子列右端位置*/
	ThisSum += A[j];
      /*对于相同的i，不同的j，只要在j-1次循环的基础上累加1项即可*/
    if( ThisSum > MaxSum ) /* 如果刚得到的这个子列和更大*/
      MaxSum = ThisSum; /* 则更新结果*/
    } /* j循环结束*/
  } /* i循环结束*/
return MaxSum;
}

算法三：分而治之 
 

T ( N ) =O( N log N )

int MaxSum(int a[],int left,int right);

int threeOfMax(int a1,int a2,int a3);

int centerMaxSum(int a[],int left,int right);

#include<stdio.h>
#define N 50
int MaxSum(int a[],int left,int right);
int centerMaxSum(int a[],int left,int right);
int threeOfMax(int a1,int a2,int a3);
int main(){
 int n;
 int a[N];
    printf("请设置数组位数n：\n");
 scanf("%d",&n);
 printf("请输入数值：\n");
 for(int i = 0;i<n;i++){
  scanf("%d",&a[i]);
 }
 int left=0;
 int right=n-1; 
 int maxSubSum = MaxSum(a,left,right);
 printf("最大子序列的和为:%d\n",maxSubSum);
 return 0;
} 

int MaxSum(int a[],int left,int right){
 int a1,a2,a3,i;
 int MaxLeftSum, MaxRightSum; //存放左右子问题的解
    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; //存放跨分界线的结果

    int LeftBorderSum, RightBorderSum;
 // 递归终止条件 直到分到最后一个元素 
 if(left==right){
   if( a[left] > 0 )
            return a[left];
        else
            return 0;
 }
 int mid = (left+right)/2;
 // 划分左边
 a1 = MaxSum(a,left,mid);
 // 划分右边
 a2 = MaxSum(a,mid+1,right);
 // 求解s3 
    MaxLeftBorderSum = 0;
    LeftBorderSum = 0;
    for( i=mid; i>=left; i-- )   //从中线向左扫描
    {
        LeftBorderSum += a[i];
        if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
    } //左边扫描结束

    MaxRightBorderSum = 0;
    RightBorderSum = 0;
    for( i=mid+1; i<=right; i++ )   //从中线向右扫描
    {
        RightBorderSum += a[i];
        if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
    } //右边扫描结束 
    a3 =centerMaxSum(a,left,right);;
    //下面返回"治"的结果
    return threeOfMax( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );

}
// 求解s3 
int centerMaxSum(int a[],int left,int right){
 int leftSum = 0;
 int rightSum = 0;
    int templeftSum = 0;
 int temprightSum = 0;
 int mid=(left+right)/2;
 for(int i = mid;i>=left;i--){
  templeftSum = templeftSum+a[i];
  if(templeftSum>leftSum)
  leftSum=templeftSum; 
 }
 for(int j = mid+1;j<=right;j++){
  temprightSum = temprightSum+a[j];
  if(temprightSum>rightSum)
  rightSum=temprightSum;
 }
 
 return leftSum+rightSum;
}

// 求解最大的子列和 
int threeOfMax(int a1,int a2,int a3){
	int maxSum = a1>a2?a1:a2;
	return maxSum>a3?maxSum:a3;
}

算法四在线处理T( N ) = O( N)

设a[i]为和最大序列的起点，则如果a[i]是负的，那么它不可能代表最优序列的起点，因为任何包含a[i]作为起点的子序列都可以通过a[i+1]作起点而得到改进。

int MaxSubseqSum4( int A[], int N )
{ int ThisSum, MaxSum;
  int i;
  ThisSum = MaxSum = 0;
  for( i = 0; i < N; i++ ) {
    ThisSum += A[i]; /* 向右累加*/
    if( ThisSum > MaxSum )
      MaxSum = ThisSum; /* 发现更大和则更新当前结果*/
    else if( ThisSum < 0 ) /* 如果当前子列和为负*/
      ThisSum = 0; /* 则不可能使后面的部分和增大，抛弃之*/
  }
  return MaxSum;