如何判断素数（C++版）

1.对于判断一个数n是否为素数，最朴素的方法是按素数的定义，试除以从2开始到m-1的整数，如果无一例外地不能整除，则该数一定是素数。

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=2; i<n; i++){
        if(n%i == 0){
            cout << n << " isn't a prime" << endl;
            return 1;
        }
    }
    cout << n << " is a prime" << endl;
    return 0;
}

2.想一想，若2都不能除尽，还要试4, 6, 8, …吗？若3都不能除尽，还要试9, 15, 21, …吗？等等。一个数，如果有因子的话，那么在它的平方根数以内就应该有，否则就没有因子。所以必定有一个因子不大于m的平方根。故判断m是否为素数，只要试除到m的平方根就可以了，不必一直到m-1。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=2; i<=sqrt(n); i++){
        if(n%i == 0){
            cout << n << " isn't a prime" << endl;
            return 1;
        }
    }
    cout << n << " is a prime" << endl;
    return 0;
}

3.另一种判断素数的方法–筛法。从文件prime.txt中读入一些整数，然后判断其是否为素数。从2开始的某个连续整数集合，留下2，除去所有2的倍数，留下3，除去所有3的倍数，留下5，再除去所有5的倍数，如此等等。留下某个最先遇到的素数，将其所有的倍数从该数集中去掉。最后，数集中就全是素数了。接下来，要判断一个数是否为素数，可以该数为下标，访问素数集合。如果是，则为素数，否则不是素数。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <fstream>
using namespace std;

int main(){
    vector<int> prime(10000, 1);
    for(int i=2; i<100; i++){
        if(prime[i]){
            for(int j=i; i*j<10000; j++)
                prime[i*j] = 0;
        }
    }
    ifstream in("prime.txt");
    for(int k; in>>k && k>1 && k<10000; )
        cout << k << " is " << (prime[k] ? "":"not ") << "a prime." << endl;
    return 0;
}

程序中，先将10000个向量元素都赋初值1，凡是该下标的元素为1的，则为素数。所以初始状态下，所有整数都是素数，在这基础上将不是素数的数筛掉（将对应元素置0）。在筛的过程中，用了“若为素数，必有因子小于其平方根”的思想，10000个数，过滤因子只要到100，就能保证10000以内全是素数了。

在程序中，对于3来说，要去掉所有3的因子，包括6、12、18等，但事实上，偶数在上一轮中已经作为2的倍数而去掉了。所以，这个过程还有一些重复操作，算法还有可改进的地方。