矩阵快速幂

#矩阵快速幂

来看一个题。

题目的大概意思是给定斐波那契（f1=1, f2=1),要求计算出前n项的平方和。（n<1e18)。

我们要计算f1²+f2²+f3³+…+fn²,

如图，我们要计算前n项的平方和只要计算f_n*f_n+1（认真看图），所以现在的问题，就在于求fn，但是n给你开到1e18，我们不可能直接计算fn的值，就算我们通过取模，保证精度不爆，我们也不能把时间控制在1s以内，所以我们要想别的方法。

斐波那契数列的递推公式是fn=fn-1+fn-2；我们可以把上述递推公式写成距阵相乘的模式。

根据这个推理，我们可以通过快速幂的方式去计算计算这个结果，最后取a.v[1] [2]就行了.

下面是矩阵快速幂求解斐波那契数列的代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+9;
const int mod=1e9+7;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct node
{
    ll m,l;
    ll v[3][3];
};
node mul(node a,node b)
{
    node c;
    c.m=a.m;
    c.l=b.l;
    for(int i=1;i<=c.m;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c.l;j++)
        {
            c.v[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=a.m;k++)
            {
                c.v[i][j]+=a.v[i][k]*b.v[k][j]%mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
ll qpow(ll n)
{
    node a,b;
    a.m=2,a.l=1;a.v[1][1]=1;a.v[1][2]=1;
    b.m=2;b.l=2;b.v[1][1]=b.v[1][2]=b.v[2][1]=1;b.v[2][2]=0;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            a=mul(a,b);
        b=mul(b,b);
        n>>=1;
    }
    return a.v[1][2];
}
int main(void)
{
    ll n;
    cin>>n;
    cout<<(qpow(n-1)%mod*qpow(n)%mod)%mod<<endl;
}