#4155. 咱们去烧菜吧-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Johnny817/article/details/89159909

本文探讨了一种涉及背包问题的算法解决方案，通过使用生成函数来计算填满不同容量背包的方案数。考虑到物品的数量和背包的容量限制，文章提供了一个高效的算法实现，包括多项式运算和快速傅立叶变换（FFT）。通过对生成函数进行操作，可以求解在特定约束下填满背包的所有可能组合。

题意

内存限制：512 MiB
时间限制：1000 ms

你有 $m$ 种物品，第 $i$ 种物品的大小为 $a_i$ ，数量为 $b_i$ （ $b_i=0$ 表示有无限个）。

你还有 $n$ 个背包，体积分别为 $1$ 到 $n$ ，现在你很想知道用这些物品填满某个背包的方案数。

为了满足你的好奇心，你决定把填满每个背包的方案数都算一遍。

因为你其实只是闲得无聊，所以你只想知道方案数对 $998244353$ （ $7×17×223+17\times 17\times 2^{23}+1$ ，一个质数）取模后的值。

$n,m\le 10^5, 0\le a_i\le 110000,0\le b_i\le 10^6$ 。

题解

把第 $i$ 个物品的生成函数写出，设 $b_i>0$ ，即 $Fi(x)=∑j=0bixai×j=1−xai×(bi+1)1−xaiF_i(x)=\sum_{j=0}^{b_i} x^{a_i \times j}=\frac{1-x^{a_i \times (b_i+1)}}{1-x^{a_i}}$

那么当 $b_i=0$ 时， $Fi(x)=∑j=0∞xai×j=11−xaiF_i(x)=\sum_{j=0}^{\infty} x^{a_i \times j}=\frac{1}{1-x^{a_i}}$

则最后的答案的生成函数 $G(x)=∏i=1nFi(x)G(x)=\prod_{i=1}^nF_i(x)$

两边取对数，即 $ln⁡G(x)=ln⁡(∏i=1nFi(x))=∑i=1nln⁡Fi(x)=∑i=1n(ln⁡(1−xai×(bi+1))−ln⁡(1−xai))\ln G(x)=\ln (\prod_{i=1}^nF_i(x))=\sum_{i=1}^n \ln F_i(x)=\sum_{i=1}^n(\ln (1-x^{a_i \times (b_i+1)})-\ln(1-x^{a_i}))$

又知道 $ln⁡(1−xk)=∑i=1∞xi×ki\ln(1-x^k)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^{i \times k}}{i}$

所以对于每个 $k$ ，都会对 $xi×kx^{i \times k}$ 的系数造成影响，所以这一部分可以 $O(nln⁡n)O(n\ln n)$ 预处理

所以最后做个多项式 $e x p$ 即可

#include <bits/stdc++.h>
#define I inline
using namespace std;
const int P=998244353,N=5e5+5;
int n,m,a[N],b[N],r[N],t,p,G[2]={3,332748118};
int A[N],B[N],C[N],D[N],E[N],F[N],jc[N],ny[N];
I int X(int x){if (x>=P) x-=P;return x;}
I int inv(int x){return 1ll*jc[x-1]*ny[x]%P;}
I int K(int x,int y){
	int A=1;
	for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
		if (y&1) A=1ll*A*x%P;
	return A;
}
I void Ntt(int *g,bool o){
	for (int i=0;i<t;i++)
		if (i<r[i]) swap(g[i],g[r[i]]);
	for (int wn,i=1;i<t;i<<=1){
		wn=K(G[o],(P-1)/(i<<1));
		for (int x,y,j=0;j<t;j+=(i<<1))
			for (int w=1,k=0;k<i;k++,w=1ll*w*wn%P)
				x=g[j+k],y=1ll*w*g[i+j+k]%P,
				g[j+k]=X(x+y),g[i+j+k]=X(x-y+P);
	}
	if (o)
		for (int i=0,v=K(t,P-2);i<t;i++)
			g[i]=1ll*v*g[i]%P;
}
I void dao(int *a,int *b,int l){
	for (int i=1;i<l;i++)
		b[i-1]=1ll*i*a[i]%P;
	b[l]=b[l-1]=0;
}
I void jifen(int *a,int *b,int l){
	for (int i=1;i<l;i++)
		b[i]=1ll*a[i-1]*inv(i)%P;
	b[0]=0;
}
I void pre(int l){
	for (t=1,p=0;t<l+l;t<<=1,p++);
	for (int i=0;i<t;i++)
		r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(p-1));
}
I void getinv(int *a,int *b,int l){
	if (l==1){
		b[0]=K(a[0],P-2);return;
	}
	getinv(a,b,(l+1)>>1);
	for (int i=0;i<l;i++)
		A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	pre(l);Ntt(A,0);Ntt(B,0);
	for (int i=0;i<t;i++)
		A[i]=1ll*A[i]*B[i]%P*B[i]%P;
	Ntt(A,1);for (int i=0;i<l;i++)
		b[i]=X(X(b[i]+b[i])-A[i]+P);
	for (int i=0;i<t;i++) A[i]=B[i]=0;
}
I void getln(int *a,int *b,int l){
	dao(a,C,l);getinv(a,D,l);
	pre(l);Ntt(C,0);Ntt(D,0);
	for (int i=0;i<t;i++)
		C[i]=1ll*C[i]*D[i]%P;
	Ntt(C,1);jifen(C,b,l);
	for (int i=0;i<t;i++) C[i]=D[i]=0;
}
I void getexp(int *a,int *b,int l){
	if (l==1){b[0]=1;return;}
	getexp(a,b,(l+1)>>1);
	for (int i=0;i<l;i++) E[i]=b[i];
	getln(b,F,l);
	for (int i=0;i<l;i++)
		F[i]=X(a[i]-F[i]+P);
	F[0]=X(F[0]+1);pre(l);
	Ntt(F,0);Ntt(E,0);
	for (int i=0;i<t;i++)
		E[i]=1ll*E[i]*F[i]%P;
	Ntt(E,1);
	for (int i=0;i<l;i++) b[i]=E[i];
	for (int i=0;i<t;i++) E[i]=F[i]=0;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int x,y,i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if (x<=n) a[x]++;
		if (y && 1ll*x*(y+1)<=1ll*n)
			a[x*(y+1)]--;
	}
	jc[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		jc[i]=1ll*i*jc[i-1]%P;
	ny[n]=K(jc[n],P-2);
	for (int i=n;i;i--)
		ny[i-1]=1ll*i*ny[i]%P;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		if (!a[i]) continue;
		if (a[i]<0) a[i]+=P;
		for (int j=1;j*i<=n;j++)
			b[i*j]=X(b[i*j]+1ll*a[i]*inv(j)%P);
		a[i]=0;
	}
	getexp(b,a,n+1);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d\n",a[i]);
	return 0;
}