1282: 排列计数 perm

最新推荐文章于 2019-07-04 11:48:00 发布

Johnny817

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分类专栏：数学

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本文介绍了一种特殊排列问题，即Magic排列的计数方法。Magic排列是指在一个1到N的排列中，当2<=i<=N时，满足Pi>Pi/2的条件。通过将问题转化为小根堆的形式，并使用动态规划进行求解，文章详细阐述了计算过程及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

称一个 $1, 2, . . ., N$ 的排列 $P_1,P_2...,P_n$ 是 $M a g i c$ 的，当且仅当 $2 < = i < = N$ 时， $P_i>P_{i/2}$ . 计算 $1 ， 2 ， . . . N$ 的排列中有多少是 $M a g i c$ 的，答案可能很大，只能输出模 $P$ 以后的值
$1≤N≤10^6,P≤10^9$

题解

可以转化成小根堆， $x$ 的左右儿子为 $2 x$ 和 $2 x + 1$
考虑 $d p$ ，设 $f_i$ 表示以 $i$ 为根，用 $1$ 到 $size_i$ 来填充且合法的方案数
容易得到根最小，所以要从 $size_i-1$ 个数中选出 $size_{2i}$ 个数给左儿子，所以可以得到转移式子： $f_i=C_{size_i-1}^{size_{2i}}*f_{2i}*f_{2i+1}$
上代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,f[N],jc[N],ny[N],p,sz[N];
int K(int x,int y){
    int A=1;while(y){
        if (y&1) A=1ll*A*x%p;
        x=1ll*x*x%p;y>>=1;
    }return A;
}
int C(int x,int y){
    return 1ll*jc[x]*ny[y]%p*ny[x-y]%p;
}
void dfs(int x){
    sz[x]=1;int l=x<<1,r=l|1;
    if (l<=n) dfs(l),sz[x]+=sz[l];
    if (r<=n) dfs(r),sz[x]+=sz[r];
    if (sz[x]<3){f[x]=1;return;}
    f[x]=1ll*C(sz[x]-1,sz[l])*f[l]%p*f[r]%p;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
    jc[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) jc[i]=1ll*i*jc[i-1]%p;
    ny[n]=K(jc[n],p-2);for (int i=n;i;i--) ny[i-1]=1ll*i*ny[i]%p;
    dfs(1);printf("%d\n",f[1]);
    return 0;
}