1282: 排列计数 perm

本文介绍了一种特殊排列问题,即Magic排列的计数方法。Magic排列是指在一个1到N的排列中,当2<=i<=N时,满足Pi>Pi/2的条件。通过将问题转化为小根堆的形式,并使用动态规划进行求解,文章详细阐述了计算过程及代码实现。

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题目描述

称一个1,2,...,N1,2,...,N1,2,...,N的排列P1,P2...,PnP_1,P_2...,P_nP1,P2...,PnMagicMagicMagic的,当且仅当2&lt;=i&lt;=N2&lt;=i&lt;=N2<=i<=N时,Pi&gt;Pi/2P_i&gt;P_{i/2}Pi>Pi/2. 计算1,2,...N1,2,...N12...N的排列中有多少是MagicMagicMagic的,答案可能很大,只能输出模PPP以后的值
1≤N≤106,P≤1091≤N≤10^6,P≤10^91N106,P109

题解

可以转化成小根堆,xxx的左右儿子为2x2x2x2x+12x+12x+1
考虑dpdpdp,设fif_ifi表示以iii为根,用111sizeisize_isizei来填充且合法的方案数
容易得到根最小,所以要从sizei−1size_i-1sizei1个数中选出size2isize_{2i}size2i个数给左儿子,所以可以得到转移式子:fi=Csizei−1size2i∗f2i∗f2i+1f_i=C_{size_i-1}^{size_{2i}}*f_{2i}*f_{2i+1}fi=Csizei1size2if2if2i+1
上代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,f[N],jc[N],ny[N],p,sz[N];
int K(int x,int y){
    int A=1;while(y){
        if (y&1) A=1ll*A*x%p;
        x=1ll*x*x%p;y>>=1;
    }return A;
}
int C(int x,int y){
    return 1ll*jc[x]*ny[y]%p*ny[x-y]%p;
}
void dfs(int x){
    sz[x]=1;int l=x<<1,r=l|1;
    if (l<=n) dfs(l),sz[x]+=sz[l];
    if (r<=n) dfs(r),sz[x]+=sz[r];
    if (sz[x]<3){f[x]=1;return;}
    f[x]=1ll*C(sz[x]-1,sz[l])*f[l]%p*f[r]%p;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
    jc[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) jc[i]=1ll*i*jc[i-1]%p;
    ny[n]=K(jc[n],p-2);for (int i=n;i;i--) ny[i-1]=1ll*i*ny[i]%p;
    dfs(1);printf("%d\n",f[1]);
    return 0;
}
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