【泛函分析】平衡集和吸收集

patrickpdx

已于 2023-04-15 17:01:08 修改

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分类专栏：数学分析文章标签：泛函分析

于 2023-04-14 10:14:34 首次发布

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在泛函分析中, 一个赋范空间的平衡集直观来讲是任意比例缩小后都处于其内部的集合, 一个赋范空间中的吸收集直观来讲就是可以通过数乘运算进行缩放, 从而可以使得空间中每个元素都包含在某个经缩放后的集合内的集合. 具体定义如下:

符号注记

设 $X$ 是一个赋范空间, $K\mathbb{K}$ 是其标量域, 集合 $S⊆XS\subseteq X$ , 标量 $α∈K\alpha\in \mathbb{K}$ 标量集 $B⊆KB\subseteq \mathbb{K}$ , 记 $αS={αx∣x∈S}\alpha S=\{\alpha x|x\in S\}$ , $BS={αx∣α∈B,x∈S}BS=\{\alpha x|\alpha \in B, x\in S\}$ . 对于 $r∈R+r\in \mathbb{R}^{+}$ , 记 $B≤r={α∈K∣∣α∣≤r}B_{\leq r}=\{\alpha \in \mathbb{K}||\alpha|\leq r\}$ , $B<r={α∈K∣∣α∣<r}B_{\lt r}=\{\alpha \in \mathbb{K}||\alpha|\lt r\}$ , 特别地, 记 $B<0=∅B_{\lt 0}=\emptyset$ , $B<∞=B≤∞=KB_{\lt \infty} =B_{\leq \infty} = \mathbb{K}$ . 一个常用的结论: $c{α∈K∣∣α∣≤r}=∣c∣{α∈K∣∣α∣≤r}c\{\alpha\in \mathbb{K}||\alpha| \leq r\}=|c|\{\alpha\in \mathbb{K}||\alpha| \leq r\}$ , 这里 $≤\leq$ 还可以换成 $<,=,≥,>\lt, =, \geq, \gt$ .
证明: $cα=∣c∣(c∣c∣α)c\alpha = |c|(\frac{c}{|c|}\alpha)$ , $∣c∣α=c(∣c∣cα)|c|\alpha=c(\frac{|c|}{c}\alpha)$ , 由此易证上述结论.

平衡集

设 $X$ 是一个赋范空间, $K\mathbb{K}$ 是其标量域, 若集合 $S⊆XS\subseteq X$ 满足: $B≤1S=SB_{\leq 1}S = S$ 则称集合 $S$ 为 $X$ 中的一个平衡集.

平衡集显然具有如下的性质:
(1) 平衡集的交集, 并集都是平衡集.
证明: 对于平衡集 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ , $B≤1(S1∩S2)=B≤1S1∩B≤1S2=S1∩S2B_{\leq 1}(S_{1}\cap S_{2})=B_{\leq 1}S_{1}\cap B_{\leq 1}S_{2}=S_{1}\cap S_{2}$ , $B≤1(S1∪S2)=B≤1S1∪B≤1S2=S1∪S2B_{\leq 1}(S_{1}\cup S_{2})=B_{\leq 1}S_{1}\cup B_{\leq 1}S_{2}=S_{1}\cup S_{2}$ .
(2) 对于 $∀c∈K\forall c\in \mathbb{K}$ , 有 $c S$ 也是平衡集.
证明: $B≤1cS=cB≤1S=cSB_{\leq 1}cS=cB_{\leq 1}S=cS$ .

等价条件:
(1) $∀x∈S\forall x\in S$ 满足: 对于 $∣α∣≤1\forall \alpha \in \mathbb{K},\ |\alpha|\leq 1$ 有 $αx∈S\alpha x\in S$ , 即 $B≤1x⊆SB_{\leq 1}x\subseteq S$ .
(2) $∀x∈S\forall x\in S$ , $Kx∩S\mathbb{K}x \cap S$ 是一个平衡集.
证明: 充分性: 对于 $∀x∈S\forall x\in S$ , $Kx∩S\mathbb{K}x \cap S$ 是平衡集, 根据 (1) 可知, 对于 $∣α∣≤1\forall \alpha \in \mathbb{K},\ |\alpha|\leq 1$ , $αx∈Kx∩S⊆S\alpha x\in \mathbb{K}x \cap S\subseteq S$ , 再利用 (1) 可知, $S$ 是平衡集.
必要性: 易证 $Kx\mathbb{K}x$ 是平衡集, 因此 $Kx∩S\mathbb{K}x \cap S$ 是平衡集.

若 $S$ 有界且 $S⊃{0}S\supset \{0\}$ , 则 $S$ 为平衡集的一个充要条件为:

(3) 对于 $∀x∈S\forall x\in S$ , $x≠0x\neq 0$ , $∃\exists$ $M∈R+M\in \mathbb{R}^{+}$ , $M≥1M\geq 1$ , 使得 $Br<Mx⊆SB_{r\lt M} x \subseteq S$ , $Kx−Br≤Mx⊆SC\mathbb{K}x-B_{r\leq M} x \subseteq S^{C}$ .
证明: 充分性: 显然 $Kx∩S=Br<Mx\mathbb{K}x\cap S=B_{r\lt M}x$ 或 $Kx∩S=Br≤Mx\mathbb{K}x\cap S=B_{r\leq M}x$ , 易证这两个集合都是平衡集, 对于 $0∈S0\in S$ , $K0∩S=0∩S=0\mathbb{K}0\cap S=0\cap S=0$ , 显然也是平衡集, 因此由 (2) 可知 $S$ 是平衡集.
必要性: 由 (2) 可知, 对于 $∀x∈S\forall x\in S$ , $x≠0x\neq 0$ : 由于 $S$ 是平衡集, 所以根据 (1) 可知, 对于 $∀k∈K\forall k\in \mathbb{K}$ , 若 $x\in S$ , 则 $B≤1kx=B≤∣k∣x⊆SB_{_{\leq 1}}k x=B_{\leq |k|}x\subseteq S$ . 记 $\sup\{|k||kx\in S\}$ (由于 $S$ 有界, 因此 $M<∞M\lt \infty$ ), 则对于 $∀ϵ\forall \epsilon$ , 存在 $k∈Kk\in \mathbb{K}$ , 使得 $∣k∣≥M−ϵ|k|\geq M-\epsilon$ , $kx∈Skx\in S$ , 则 $BM−ϵx⊆B≤∣k∣x⊆SB_{M-\epsilon}x\subseteq B_{\leq |k|}x \subseteq S$ . 因此 $B<Mx⊆SB_{\lt M}x\subseteq S$ , 对于 $Kx−Br≤Mx=(K−Br≤M)x\mathbb{K}x-B_{r\leq M} x = (\mathbb{K}-B_{r\leq M})x$ , 若其中有元素 $y∈Sy\in S$ , 则 $y$ 必然可以表示为 $y=αxy=\alpha x$ , $α>M\alpha \gt M$ , 进而与 $M$ 的定义矛盾.

若已知 $S$ 是凸集, 则 $S$ 为平衡集的一个充要条件为:
(4) 对于 $∀α∈K\forall \alpha\in \mathbb{K}$ , $∣α∣=1|\alpha|=1$ , 有 $αS⊆S\alpha S \subseteq S$ .
证明: 充分性: 由已知条件可知, $−S⊆S-S\subseteq S$ , 则对于 $∀x∈S\forall x\in S$ , $−x∈S-x\in S$ , 由于 $x$ 是凸集, 所以 $x+(−x)=0⊆Sx+(-x)=0\subseteq S$ . 对于 $∀α∈K\forall \alpha\in \mathbb{K}$ , $∣α∣≤1|\alpha|\leq 1$ , 考虑集合 $αS\alpha S$ : 对于 $∀x∈αS\forall x\in \alpha S$ , $x$ 可以表示为 $x=αx0x=\alpha x_{0}$ , $x0∈Sx_{0}\in S$ , 由于 $S$ 是凸集, 所以 $x=αx0+(1−α)⋅0∈Sx=\alpha x_{0}+(1-\alpha)\cdot 0\in S$ . 因此 $αS⊆S\alpha S\subseteq S$ , 证毕.
必要性: 显然.

平衡包 (balanced hull)

一个集合 $S$ 的平衡包是指包含这个集合的最小平衡集, 记为 $Bal(S)\mathrm{Bal}(S)$ .
等价条件:
(1) $Bal(S)\mathrm{Bal}(S)$ 是所有包含 $S$ 的平衡集的交集.
证明: 对于 $S$ 的平衡集的交集, 因为平衡集的交集是平衡集, 因此必然是平衡集. 其显然也包含 $S$ , 因此其必然是包含 $S$ 的平衡集. 它又包含于所有包含 $S$ 的平衡集, 因此必然是最小平衡集.
(2) $Bal(S)=B≤1S=⋃∣α∣≤1(αS)\mathrm{Bal}(S)=B_{\leq 1}S = \bigcup\limits_{|\alpha|\leq 1}(\alpha S)$ .
证明: $B≤1S=B≤1B≤1SB_{\leq 1}S=B_{\leq1}B_{\leq 1}S$ , 因此 $B≤1SB_{\leq 1}S$ 是包含 $S$ 的平衡集, 对于任一包含 $S$ 的平衡集, $B≤1SB_{\leq 1}S$ 又显然是其子集, 因此 $B≤1SB_{\leq 1}S$ 包含于所有包含 $S$ 的平衡集的交集, 即 $B≤1S⊆BalSB_{\leq 1}S\subseteq \mathrm{Bal}S$ , 因此 $B≤1S=BalSB_{\leq 1}S = \mathrm{Bal}S$ .

显然, 集合 $S$ 是平衡集的充要条件是 $BalS=S\mathrm{Bal}S=S$ .
对于 $∀c∈K\forall c\in\mathbb{K}$ , 有 $Bal(cS)=cBalS=∣c∣BalS\mathrm{Bal}(cS)=c\mathrm{Bal}S=|c|\mathrm{Bal}S$ .
证明: $Bal(cS)=B≤1cS\mathrm{Bal}(cS)=B_{\leq 1}cS$ , $B≤1c={cα∣α∈K,∣α∣≤1}=cB≤1=∣c∣B≤1B_{\leq 1}c=\{c\alpha|\alpha\in \mathbb{K},|\alpha|\leq 1\}=cB_{\leq 1}=|c|B_{\leq 1}$ , 因此 $Bal(cS)=cBalS=∣c∣BalS\mathrm{Bal}(cS)=c\mathrm{Bal}S=|c|\mathrm{Bal}S$ .

平衡核 (balanced core)

一个集合 $S$ 的最大平衡子集称为平衡核, 记为 $BalcoreS\mathrm{Balcore}S$ .
等价条件:
(1) 平衡核是所有平衡子集的并集.
所有平衡子集的并集是平衡集, 包含所有平衡子集, 且包含于 $S$ , 因此是平衡核.
若 $S≠∅S\neq \emptyset$ , 且 $0∉S0\notin S$ , 则 $BalcoreS=⋂∣α∣≥1(αS)\mathrm{Balcore}S=\bigcap\limits_{|\alpha|\geq 1}(\alpha S)$ .

显然, 集合 $S$ 是平衡集的充要条件是 $BalcoreS=S\mathrm{Balcore}S=S$ .

显然, 集合 $S$ 是平衡集的充要条件是 $BalcoreS=S\mathrm{Balcore}S=S$ .
对于 $∀c∈K\forall c\in\mathbb{K}$ , 有 $Balcore(cS)=cBalcoreS=∣c∣BalcoreS\mathrm{Balcore}(cS)=c\mathrm{Balcore}S=|c|\mathrm{Balcore}S$ .
证明: $Balcore(cS)=⋂∣α∣≥1(αcS)=c⋂∣α∣≥1(αS)=∣c∣⋂∣α∣≥1αS\mathrm{Balcore}(cS)=\bigcap\limits_{|\alpha|\geq 1}(\alpha cS)=c\bigcap\limits_{|\alpha|\geq 1}(\alpha S)=|c|\bigcap\limits_{|\alpha|\geq 1}\alpha S$ , 因此 $Balcore(cS)=cBalcoreS=∣c∣BalcoreS\mathrm{Balcore}(cS)=c\mathrm{Balcore}S=|c|\mathrm{Balcore}S$ .

集合的吸收关系

设 $X$ 是一个赋范空间, $K\mathbb{K}$ 是其标量域, $S$ 和 $A$ 都是 $X$ 的子集, 若存在 $r∈R+r\in \mathbb{R}^{+}$ , 使得 $S⊆⋂∣c∣≥rcAS\subseteq \bigcap\limits_{|c| \geq r}cA$ , 则称 $A$ 吸收 $S$ .
等价条件:
(1) 存在 $r∈R+r\in \mathbb{R}^{+}$ , 使得 $⋃0<∣c∣≤rcS⊆A\bigcup\limits_{0 \lt |c| \leq r}cS\subseteq A$ .
证明:
充分性: 对于 $∀x∈S\forall x \in S$ , 有: $∀c∈K\forall c\in \mathbb{K}$ , $\lt |c|\leq r$ , $\in A$ , $x∈1cAx\in \frac{1}{c}A$ , 因此 $x∈⋂{1c∣0<c≤r}1cAx\in \bigcap\limits_{\{\frac{1}{c}|0\lt c\leq r\}}\frac{1}{c}A$ . ${1c∣0<c≤r}={c∣∣c∣≥r}\{\frac{1}{c}|0\lt c \leq r\}=\{c||c|\geq r\}$ , 因此 $x⊆⋂∣c∣≥rcAx\subseteq \bigcap\limits_{|c| \geq r}cA$ .

必要性: $∀x∈⋃0<∣c∣≤rcS\forall x\in \bigcup\limits_{0 \lt |c| \leq r}cS$ , 存在 $c0∈{c∣0<∣c∣≤r}c_{0}\in \{c|0\lt |c|\leq r\}$ , $x0∈Sx_{0}\in S$ , 使得 $x=c_{0}x_{0}$ , 由已知条件, $x0∈1c0Ax_{0}\in \frac{1}{c_{0}}A$ , 因此 $x∈Ax\in A$ .

若 $A$ 是平衡集, 则等价于:
(2) 存在 $c∈Kc\in \mathbb{K}$ , $c≠0c\neq 0$ , 使得 $S⊆cAS\subseteq cA$ .
证明: 充分性: 对于 $∀c′∈K,∣c′∣≥∣c∣\forall c'\in \mathbb{K}, |c'|\geq |c|$ , $c^{'} A$ 也是平衡集, $cA=cc′(c′A)⊆B≤1(c′A)=c′AcA=\frac{c}{c'}(c'A)\subseteq B_{\leq 1}(c'A)=c'A$ , 因此 $S⊆⋂∣c′∣≥∣c∣c′AS\subseteq \bigcap\limits_{|c'| \geq |c|}c'A$ .
必要性: 显然.
(3) 存在 $c∈Kc\in \mathbb{K}$ , $c≠0c\neq 0$ , 使得 $cS⊆AcS\subseteq A$ .
充分性: $S⊆1cAcS\subseteq A \iff S\subseteq \frac{1}{c}A$ , 由 (2) 可知 $A$ 吸收 $S$ .
必要性: 显然.
若 $A$ 包含 $0$ , 则等价于:
(4) 存在 $r∈R+r\in \mathbb{R}^{+}$ , 使得 $B≤rS⊆AB_{\leq r}S\subseteq A$ .
证明: $0S=0∈A0S=0\in A$ , 因此 (1) 等价于此.
(5) 存在 $r∈R+r\in \mathbb{R}^{+}$ , 使得 $BalS⊆rA\mathrm{Bal} S \subseteq r A$ .
证明: $BalS=B≤1S\mathrm{Bal} S = B_{\leq 1}S$ , $B≤1S⊆rAB_{\leq 1}S\subseteq rA$ $\iff$ $1rB≤1S⊆A\frac{1}{r}B_{\leq 1}S\subseteq A$ $\iff$ $B≤1∣r∣S⊆AB_{\leq \frac{1}{|r|}}S\subseteq A$ , 易证 (5) 等价于 (4).
(6) 存在 $r∈R+r\in \mathbb{R}^{+}$ , 使得 $Bal(rS)⊆A\mathrm{Bal} (rS) \subseteq A$ .
证明: $Bal(rS)=B≤1(rS)=∣r∣B≤1S\mathrm{Bal} (rS) = B_{\leq 1}(rS)=|r|B_{\leq 1}S$ , $∣r∣B≤1S⊆A|r|B_{\leq 1}S\subseteq A$ $\iff$ $B≤1S⊆1∣r∣AB_{\leq 1}S\subseteq \frac{1}{|r|}A$ $\iff$ $BalS⊆1∣r∣A\mathrm{Bal}S\subseteq \frac{1}{|r|}A$ , 易证 (6) 等价于 (5).

吸收集

设 $X$ 是一个赋范空间, $K\mathbb{K}$ 是其标量域, 若集合 $S⊆XS\subseteq X$ 满足: 对于 $∀x∈S\forall x\in S$ , $S$ 吸收 $x$ , 则称 $S$ 是吸收集.
等价条件:
(1) $S$ 吸收 $X$ 中的每一个有限集合.
充分性: 每一个元素组成的单点集是有限集合, 由已知条件可知被 $S$ 吸收, $S$ 是吸收集.
必要性: 设 $A=\{x_{1},...,x_{N}\}$ , 对于任一 $x_{n}$ , 其被 $S$ 吸收, 因此存在 $rn∈R+r_{n}\in \mathbb{R}^{+}$ , 使得 $⋃0<∣c∣≤rncnx⊆S\bigcup\limits_{0 \lt |c| \leq r_{n}}c_{n}x\subseteq S$ , 取 $r_{min}=\min\{r_{n}\}_{n=1}^{N}$ , 则 $⋃0<∣c∣≤rmincA⊆S\bigcup\limits_{0 \lt |c| \leq r_{min}}cA\subseteq S$ , 即 $S$ 吸收 $A$ .