最大子序列和（数据结构）

介绍四种算法，暴力解是O(n^3)的复杂度，而最简的方法只要O(n)。

Problem Description

求取数组中最大连续子序列和（如果最大和是负数，输出0）

算法一 暴力解
O(n^3)

很容易想到，把所有子序列和都求出，比较出最大的一个

int MaxSubseqSum1(int A[], int N)
{
	int ThisSum, MaxSum = 0;
	int i,j,k;
	
	for(i = 0; i < N; i++)		//子序列左端 
	{	for(j = i; j < N; j++){		//子序列右端 
			ThisSum = 0;
			for(k = i; k <= j; k++)
				ThisSum += A[k];
			if(ThisSum > MaxSum)
				MaxSum = ThisSum;
		}
	}
	return MaxSum;
}

算法二 改进版
O(n^2)

算法一中计算子序列时候，每一遍都要从头加起，我们可以做一个改进，i相同j不同时，只要j - 1的基础上多加一项就好

int MaxSubseqSum1(int A[], int N)
{
	int ThisSum, MaxSum = 0;
	int i,j;
	
	for(i = 0; i < N; i++)		//子序列左端 
	{
		ThisSum = 0;	
		for(j = i; j < N; j++){		//子序列右端 
			ThisSum += A[j];
			if(ThisSum > MaxSum)
				MaxSum = ThisSum;
		}
	}
	return MaxSum;
}

算法三 Divide and Conquer
O(nlogn)

利用这个常用的思想，我们可以把这个问题分解成多个小问题。这个代码量比较大。

int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
    return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}

int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
    int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/
 
    int LeftBorderSum, RightBorderSum;
    int center, i;
 
    if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字
							  小于零就返回0 且抛弃*/
        if( List[left] > 0 )  return List[left];
        else return 0;
    }
 
    /* 下面是"分"的过程 */
    center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
    /* 递归求得两边子列的最大和 */
    MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
    MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );
 
    /* 下面求跨分界线的最大子列和 */
    MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
    for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
        LeftBorderSum += List[i];
        if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
    } /* 左边扫描结束 */
 
    MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
    for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
        RightBorderSum += List[i];
        if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
    } /* 右边扫描结束 */
 
    /* 下面返回"治"的结果 */
    return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}

算法四 在线处理
O(n)
最快速的方法当然是读取一遍就搞定，那么我们可以想到，如果读取到负数，那么这个数对于子序列的增长没有帮助，就可以舍弃这个位置，同时之前的最大连续子序列已经确定，我们就从这个位置接着往后读取，重新开始寻找是否有更多的子序列。
在线处理还有个特点，不管读取到什么程度，都有个实时反馈的答案，随时可以停下给出答案。

int MaxSubseqSum4 (int A[], int N)
{
	int ThisSum, MaxSum;
	
	This Sum = MaxSum = 0;
	for(int i = 0; i < N; i++)
	{
		ThisSum += A[i];		//向右累加 
		if(ThisSum > MaxSum)
			MaxSum = ThisSum;
		else if(ThisSum < 0)		//如果当前子序列为负 
			ThisSum = 0;			//无法对接下来子序列增大，就放弃 
	}
} 

参考资料：浙江大学数据结构课程

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