【LeetCode刷题】300 最长上升子序列

300、最长上升子序列

题目描述：
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4

思路：利用动态规划
用dp[i] 表示 从下标0 到下标i 的最长上升子序列的长度，例如对于样例输入[10,9,2,5,3,7,101,18], 有 dp = [ 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4]。显然dp[0] = 1，对于任意的i 不为零的情况，应该在 i 的左侧找一个下标 j ，其满足两个条件：

1.nums[ j ]比 nums[ i ] 小；
2.它是所有满足条件1里 dp [j] 最大的那个；

即：dp[i] = max(dp[j] + 1，dp[i]) , j < i and nums[ j ] < nums[ i ]

如果不存在这样的下标j，说明在0 ~ i - 1 的范围内，所有元素都比nums[i] 大，即无法找到一个能和 nums[i] 组成上升子序列的元素，所以dp[i] = 1， 表示为nums[i] 自身成为一个长度为1 的上升子序列。

class Solution(object):
    def lengthOfLIS(self, nums):
        if not nums:
            return 0
        a = [1 for i in range(len(nums))]  #单个元素的时候，最长序列为1
        for i in range(1,len(nums)):
            for j in range(0,i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    a[i] = max(a[j] + 1, a[i])  # i前边有j个元素的时候，需要确保a[i]的值能取到最大

        return max(a)

nums = [10,9,2,2,3,3]
print(Solution().lengthOfLIS(nums))

总结：利用一个列表保存每一步的值，来降低重复计算量，这种动态规划方法经常用到，比如之前的爬楼梯或者跳台阶，都是同样的思想，当然我们也可以利用递归法来解决。

最后我们在列一下动态规划求解问题的四个特征：
①求一个问题的最优解；
②整体的问题的最优解是依赖于各个子问题的最优解；
③小问题之间还有相互重叠的更小的子问题；
④从上往下分析问题，从下往上求解问题；