八大排序算法——堆排序

八大排序

排序，分为内部排序和外部排序，内部排序是指将数据记录在内存中进行排序，而外部排序因排序的数据很大，一次不能容纳全部的排序记录，在排序过程中需要访问外存，所以称之为外部排序，我们这里讲的八大排序全部属于内部排序。

八大排序时间/空间复杂度及稳定性

堆排序

堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。这里要注意的是堆排序采用的是完全二叉树的思想，但它的存储结构采用的是数组。

堆排序的过程（大根堆）

• 调整堆：调整堆即是将最初无规则的堆调整为大根堆。它的每一次调整都是将非叶子结点i与其左孩子left[i]和右孩子light[i]进行比较，若非叶子结点i不是其中最大的，那么将其与最大的结点位置互换。堆的第一次调整是从最后一个非叶子结点开始依次向根节点调整的，这就是为什么它要采用完全二叉树的原因，因为这样可以快速的在数组中定位最后一个非叶子结点，即a[n/2-1]，其中a是待排序的数组，n是数组a的下标值。那么就是说，下标为n/2-1的结点就是最后一个非叶子节点。堆的第一次调整函数的调用关系大概可以总结为循环调用+递归调用。其过程如下：
  
  • 初始完全二叉树
    
  • 数值3为最后一个非叶子结点，将其与它的孩子结点相比较，8>3，位置互换
    
  • 判断被调整后的结点3是否为非叶子结点，3不是，函数调用进入下一层循环，将结点7与它的左右儿子结点相比较，20>17>7，将结点20与结点7位置互换
    
  • 判断被调整后的结点7是否为非叶子结点，7不是，函数调用进入最后一层循环，将结点16与它的左右儿子结点相比较，20>16>7，将结点16与结点20位置互换
    
  • 判断被调整后的结点16是否为非叶子结点，16是，函数进行递归调用，将结点16与它的左右儿子结点相比较，17>16>7，将结点17与结点16位置互换
    
  • 判断被调整后的结点16是否为非叶子结点，16不是，循环结束，堆调整完毕。
• 堆排序：可以看到，上面的调整堆算法循环调用执行完毕以后，结果是一个大根堆，堆排序所要做的就是将堆顶元素20与最后一个元素3互换位置，即将a[0]与a[n-1]互换位置，换位置之后a[0]至a[n-2]元素又组成一个新的堆，这时的调整堆与第一次调整刚好相反，它是从堆顶元素开始调整，一直往下延伸，是一个纯递归的过程，具体过程如下：
  
  到这里，排序就算是执行完了，从上述过程可知，堆排序其实也是一种选择排序，是一种树形选择排序。只不过直接选择排序中，为了从a[1…n]中选择最大记录，需比较n-1次，然后从a[1…n-2]中选择最大记录需比较n-2次。事实上这n-2次比较中有很多已经在前面的n-1次比较中已经做过，而树形选择排序恰好利用树形的特点保存了部分前面的比较结果，因此可以减少比较次数，这就是为什么第一次调整堆是从下往上，而之后都是从上往下。对于n个关键字序列，最坏情况下每个节点需比较log2(n)次，因此其最坏情况下时间复杂度为nlogn。堆排序为不稳定排序，不适合记录较少的排序。下面是堆排序的c语言实现：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

//堆调整算法
void HeapAdjust(int num[],int i,int length)
{
    //定义max保存以num[i]为根的最小堆中最大值的下标，初始值为i
    int max=i;
    //判断num[i]是否为根结点 （下标i<=length/2-1的结点都是根节点）
    if(i<=length/2-1)
    {
        //判断num[2*i+1]是否在堆内，若在,判断其是否大于num[max]，若大于，将其下标2*i+1赋予给max
        if((2*i+1)<length && num[2*i+1]>num[max])
        {
            max=2*i+1;
        }
        //判断num[2*(i+1)]是否在堆内，若在，判断其是否大于num[max]，若大于，将其下标2*(i+1)赋予给max
        if((2*(i+1))<length && num[2*(i+1)]>num[max])
        {
            max=2*(i+1);
        }
        //若i不等于max，则说明以num[i]为根的最小堆中num[max]是最大值，将num[max]与根结点num[i]交换位置
        if(i!=max)
        {
            num[i]=num[i]^num[max];
            num[max]=num[i]^num[max];
            num[i]=num[i]^num[max];
            //交换后，为防止以num[max]为根结点的最小堆结构发生变换，再次调用堆调整算法
            HeapAdjust(num,max,length);
        }
    }
}
//堆排序算法
void HeapSort(int num[],int length)
{
    int i;
    //找到最后一个非叶子结点，先从最后一个非叶子结点组成的最小堆进行堆调整
    for(i=length/2-1;i>=0;i--)
        //调用调整堆算法将数组从下往上调整为大根堆
        HeapAdjust(num,i,length);
    for(i=length-1;i>0;i--)
    {
        //将数组第一个数和最后一个数换位置
        num[i]=num[i]^num[0];
        num[0]=num[i]^num[0];
        num[i]=num[i]^num[0];
        //继续调用调整堆算法，将剩余数据组成的堆从上往下调整为大根堆
        HeapAdjust(num,0,i);
    }
}
int main()
{
    int i;
    int num[]={8,5,7,12,48,36,4};
    HeapSort(num,sizeof(num)/sizeof(int));
    for(i=0;i<sizeof(num)/sizeof(int);i++)
    {
        printf("%d\t",num[i]);
    }
    printf("\n");
}