[图论算法] 斯坦纳树

斯坦纳树问题是一个寻找特定节点集合最小生成树的NP完全问题。通常通过动态规划和子集DP方法来解决,结合贪心策略选择最优解。在状态转移过程中,利用单源最短路径算法处理后效性,以找到最佳的斯坦纳树结构。

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        斯坦纳树解决的是这么一类问题——在图上选择N个节点,求只计算这N个节点的最小生成树。该问题是NP完全的,这意味着它没有多项式时间的解法。一般来说,我们使用状压DP解决这个问题

       我们让  dp[i][j] 表示已经考虑的节点状态为i(如果i的第k位是1,那么我们已经把需要考虑的第k个节点考虑进去了),当前斯坦纳树的根节点为j的解(边权和),那么,显然一棵斯坦纳树可以裂成两个,换句话说:dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[t][j]+dp[i \ xor \ j]),其中t\in i,对于这个方程,我们可以采用子集DP的方法解决。同时,如果我要换根操作,那么显然又有dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j]+distance(k,i)),其中 distance(k,j) 的意思是k到j的最短路径,但是这个方程有后效性,怎么办?

        我们可以贪心一点,对于每个i,选取最小的 dp[i][j] ,并记作此时的j是T,并对这种有后效性的状态转移方程,采用单源最短路径的方法转移,算出其他的 dp[i][j]=min(dp[i][j]+dp[i][T]+distance(T,j)),即可求出答案。

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