二叉树入门

树的基本定义

树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就 是说它是根朝上，而叶朝下的。

 树具有以下特点：

1.每个结点有零个或多个子结点；

2.没有父结点的结点为根结点；

3.每一个非根结点只有一个父结点；

4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；

树的相关术语

结点的度： 一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；

叶结点： 度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点

分支结点： 度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点

结点的层次： 从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推

结点的层序编号：将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。

树的度：树中所有结点的度的最大值

树的高度(深度)：树中结点的最大层次

森林：m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根 结点，森林就变成一棵树

孩子结点：一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点

双亲结点(父结点)：一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点

兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

二叉树的基本定义

二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

 完全二叉树：叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

二叉查找树的创建

二叉树的结点类

结点类API设计：

 结点类代码实现：

 //结点类
    private class Node {
        //存储键
        private Key key;
        //存储值
        private Value value;
        //记录左子结点
        private Node left;
        //记录右子结点
        private Node right;

        //构造方法
        public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }

二叉查找树API设计

二叉查找树实现

插入方法put实现思想：

1.如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用

2.如果当前树不为空，则从根结点开始：

2.1如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；

2.2如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；

2.3如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。

查询方法get实现思想：

从根节点开始：

1.如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；

2.如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；

3.如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。

删除方法delete实现思想：

1.找到被删除结点；

2.找到被删除结点右子树中的最小结点minNode

3.删除右子树中的最小结点

4.让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树

5.让被删除结点的父节点指向最小结点minNode

二叉树的基础遍历

1、前序遍历：先访问根结点，再访问左子结点，最后访问右子结点

前序遍历实现步骤：

①、把当前结点的key放入队列中

②、找到当前结点的左子树，如果不为空，则递归遍历左子树

③、找到当前结点的右子树，如果不为空，则递归遍历右子树

2、中序遍历：先访问左子结点，再访问根结点，最后访问右子结点

中序遍历实现步骤：

①、找到当前结点的左子树，如果不为空，则递归遍历左子树

②、把当前结点的key放入队列中

③、找到当前结点的右子树，如果不为空，则递归遍历右子树

3、后序遍历：先访问左子结点，再访问右子结点，最后访问根结点

后序遍历实现步骤：

①、找到当前结点的左子树，如果不为空，则递归遍历左子树

②、找到当前结点的右子树，如果不为空，则递归遍历右子树

③、把当前结点的key放入队列中

三种遍历结果，如下图所示：

 

代码实现：

/**
 * @author: xuzhilei
 * @create: 2021-12-08 
 * @description: 二叉查找树
 **/
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>, Value> {
    //结点类
    private class Node {
        //存储键
        private Key key;
        //存储值
        private Value value;
        //记录左子结点
        private Node left;
        //记录右子结点
        private Node right;

        //构造方法
        public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }

    //记录根结点
    private Node root;
    //记录二叉树中元素个数
    private int number;

    //初始化构造方法
    public BinaryTree() {
        this.root = null;
        this.number = 0;
    }

    //获取树中元素个数
    public int size() {
        return number;
    }

    //向树中添加元素key-value
    public void put(Key key, Value value) {
        root = put(root, key, value);
    }


    //向指定的子树x中添加key-value,并返回添加元素后新的子树
    private Node put(Node x, Key key, Value value) {
        //如果x子树为空
        if (x == null) {
            //元素个数加1
            number++;
            return new Node(key, value, null, null);
        }
        //如果x子树不为空
        //比较x结点的键和key的大小
        int comp = key.compareTo(x.key);
        if (comp > 0) {
            //如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树
            x.right = put(x.right, key, value);
        } else if (comp < 0) {
            //如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
            x.left = put(x.left, key, value);
        } else {
            //如果key等于x结点的键，则替换x结点的值为value
            x.value = value;
        }
        return x;
    }

    //查找树中指定key对应的value
    public Value get(Key key) {
        return get(root, key);
    }

    //从指定的树x中查找key对应的值
    private Value get(Node x, Key key) {
        //如果子树x为空
        if (x == null) {
            return null;
        }
        //如果子树x不为空
        //比较key和x结点的键的大小
        int comp = key.compareTo(x.key);
        if (comp > 0) {
            //如果key大于x结点的键，则继续查找x结点的右子树
            return get(x.right, key);
        } else if (comp < 0) {
            //如果key小于x结点的键，则继续查找x结点的左子树
            return get(x.left, key);
        } else {
            //如果key等于x结点的键，则返回x结点的值
            return x.value;
        }
    }

    //删除树中key对应的value，即删除此key对应的结点
    public void delete(Key key) {
        delete(root, key);
    }

    //删除子树x中key对应的value,并返回删除后的新树
    private Node delete(Node x, Key key) {
        //x子树为空
        if (x == null) {
            return null;
        }
        //x子树不为空
        //比较x结点的键与key的大小
        int comp = key.compareTo(x.key);
        if (comp > 0) {
            //如果key大于x结点的键，则继续查找x结点的右子树
            x.right = delete(x.right, key);
        } else if (comp < 0) {
            //如果key小于x结点的键，则继续查找x结点的左子树
            x.left = delete(x.left, key);
        } else {
            //如果key等于x结点的键,此时找到了要删除的结点

            //让元素个数-1
            number--;
            //如果x的左子结点为空，则直接返回右子结点即可
            if (x.left == null) {
                return x.right;
            }
            //如果x的右子结点为空，则直接返回左子结点即可
            if (x.right == null) {
                return x.left;
            }
            //找到右子树中的最小结点
            //先让x的右子结点为最小的结点
            Node minNode = x.right;
            while (minNode.left != null) {
                minNode = minNode.left;
            }
            //删除x的右子树的最小的结点
            Node n = x.right;
            while (n.left != null) {
                if (n.left.left == null) {
                    //将最小的结点置为null
                    n.left = null;
                } else {
                    n = n.left;
                }
            }

            //让x结点的左子结点成为minNode的左子结点
            minNode.left = x.left;
            //让x结点的右子结点成为minNode的右子结点
            minNode.right = x.right;
            //让x记录minNode结点（即让x结点的父结点指向minNode）
            x = minNode;
        }
        //将当前结点返回
        return x;
    }


    //查找整个树中最小的键
    public Key min() {
        return min(root).key;
    }

    //查找指定树x中最小的键所在的结点
    private Node min(Node x) {
        //判断x是否有左子结点，如果有，则继续向左找，如果没有，则直接返回x结点
        if (x.left != null) {
            return min(x.left);
        } else {
            return x;
        }
    }

    //在整个树中查找最大的键
    public Key max() {
        return max(root).key;
    }

    //在指定树x中查找最大的键所在的结点
    private Node max(Node x) {
        //判断x是否有右子结点，如果有，则继续向右找，如果没有，则直接返回x结点
        if (x.right != null) {
            return max(x.right);
        } else {
            return x;
        }
    }

    //使用前序遍历获取整个树中的所有键
    public Queue<Key> preErgodic() {
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        preErgodic(root, keys);
        return keys;
    }

    //使用前序遍历获取指定树x中所有的键
    private void preErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {
        if (x == null) {
            return;
        }

        //把x结点的key放入keys中
        keys.enqueue(x.key);
        //递归遍历x的左子树
        if (x.left != null) {
            preErgodic(x.left, keys);
        }
        //递归遍历x的右子树
        if (x.right != null) {
            preErgodic(x.right, keys);
        }
    }


    //使用中序遍历获取整个树中的所有键
    public Queue<Key> midErgodic() {
        //声明一个队列
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        midErgodic(root, keys);
        return keys;
    }

    //使用中序遍历获取指定树x中所有的键
    private void midErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {
        if (x == null) {
            return;
        }
        //如果x的左子结点不为空，递归遍历左子结点
        if (x.left != null) {
            midErgodic(x.left, keys);
        }
        //将x的key放入队列中
        keys.enqueue(x.key);
        //如果x的右子结点不为空，递归遍历右子结点
        if (x.right != null) {
            midErgodic(x.right, keys);
        }
    }

    //使用后序遍历获取整个树中的所有键
    public Queue<Key> afterErgodic(){
        //声明一个队列
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        afterErgodic(root,keys);
        return keys;
    }
    //使用后序遍历获取指定树x中所有的键
    private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
        if (x == null){
            return;
        }
        //如果x的左子结点不为空，递归遍历左子树
        if (x.left != null){
            afterErgodic(x.left,keys);
        }
        //如果x的右子结点不为空，递归遍历右子树
        if (x.right != null){
            afterErgodic(x.right,keys);
        }
        //将x结点的key放入队列中
        keys.enqueue(x.key);
    }

    //使用层序遍历获取整个树中的所有键
    public Queue<Key> layerErgodic(){
        //创建一个队列，用来存放所有的键
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        //再创建一个队列，用来存放结点
        Queue<Node> nodes = new Queue<>();

        //首先将根结点放入队列中
        nodes.enqueue(root);

        while (!nodes.isEmpty()){
            //从队列中弹出一个结点
            Node node = nodes.dequeue();
            //将此结点的key放入队列中
            keys.enqueue(node.key);
            //如果此结点还有左结点，则将左结点放入队列中
            if (node.left != null){
                nodes.enqueue(node.left);
            }
            //如果此结点还有右结点，则将右结点放入队列中
            if (node.right != null){
                nodes.enqueue(node.right);
            }
        }
        return keys;
    }

    //计算整个树的最大深度
    public int maxDepth(){
        return maxDepth(root);
    }
    //计算指定树x的最大深度
    private int maxDepth(Node x){
        if (x == null){
            return 0;
        }

        //初始化树x的最大深度
        int max = 0;
        //初始化x的左子树的最大深度
        int maxL = 0;
        //初始化x的右子树的最大深度
        int maxR = 0;

        //如果x还有左子树，则继续递归获取左子树的最大深度
        if (x.left != null){
            maxL = maxDepth(x.left);
        }
        //如果x还有右子树，则继续递归获取右子树的最大深度
        if (x.right != null){
            maxR = maxDepth(x.right);
        }

        //比较左子树的最大深度和右子树的最大深度，取较大值+1即为当前x的最大深度
        max = maxL > maxR ? maxL+1:maxR+1;

        return max;
    }

}

测试代码：

/**
 * @author: xuzhilei
 * @create: 2021-12-08
 * @description: 二叉树测试
 **/
public class BinaryTreeTest {
    public static void main(String[] args) {
        //创建二叉树
        BinaryTree<String, String> bt = new BinaryTree<>();
        //binaryTree.put(4,"二哈");
        //binaryTree.put(1,"张三");
        //binaryTree.put(3,"李四");
        //binaryTree.put(5,"王五");
        //System.out.println(binaryTree.size());
        //binaryTree.put(1,"老三");
        //System.out.println(binaryTree.get(1));
        //System.out.println(binaryTree.size());
        //
        //binaryTree.delete(1);
        //System.out.println(binaryTree.get(1));
        //System.out.println(binaryTree.size());



        bt.put("E", "5");
        bt.put("B", "2");
        bt.put("G", "7");
        bt.put("A", "1");
        bt.put("D", "4");
        bt.put("F", "6");
        bt.put("H", "8");
        bt.put("C", "3");
        //测试前序遍历
        //Queue<String> keys = bt.preErgodic();
        //for (String key : keys) {
        //    System.out.println(key + "="+ bt.get(key));
        //}

        //测试中序遍历
        //Queue<String> keys = bt.midErgodic();
        //for (String key : keys) {
        //    System.out.println(key + "="+ bt.get(key));
        //}
    //测试后序遍历
    //    Queue<String> keys = bt.afterErgodic();
    //    for (String key : keys) {
    //        System.out.println(key + "=" + bt.get(key));
    //    }

        //测试层序遍历
        Queue<String> keys = bt.layerErgodic();
        for (String key : keys) {
            System.out.println(key + "=" + bt.get(key));
        }

        //测试树的最大深度
        int maxDepth = bt.maxDepth();
        System.out.println("树的最大深度为："+maxDepth);
    }
}

测试部分结果：

   以上是个人随手敲的demo，如有不正确的地方，可以在下方留言指正，谢谢。与各位优快云的伙伴们共勉，每天记录一点点，每天进步一点点