滚动数组-动态规划之-不同路径 II_20230421

DP动态规划之-滚动数组

1. 前言

在学习 不同路径II 的动态规划过程中，从介绍资料中了解到 滚动数组可以进一步降低动态规划解空间的复杂度，更高效利用计算机的储存空间。动态规划中的滚动数组究竟能发挥哪些作用，在常规的动态规划中，我们又是如何进行具体的应用呢？

从本质上理解，滚动数组的作用就是为了更好利用储存空间，用有限的空间不断进行覆盖，从而完成整体算法任务，具体而言分为两类：

• 一维数组简化为2个或3个变量
• 二维数组简化为1维数组

2. 一维数组转化为滚动数组

具体看一个斐波那契数列的例子，中规中矩的动态规划数组一般设定为dp[n+1]，其中n表示斐波那契数列的下标（位置），通过dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]求解出所有的斐波那契数列。

动态规划的基础解为dp[1]=1, dp[2]=1，然后通过循环求出每个位置上的斐波那契数字，最后返回dp[n]即为所求得的具体解。

int fib_normal_array(int n)
{
   
   
    int i;
    int dp[n+1];

    dp[1]=1;
    dp[2]=1;

    for(i=3;i<=n;i++)
    {
   
   
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
    }

    return dp[n];
}

那么如何转化为滚动数组呢？ 通过观察我们发现，对于每个位置上的斐波那契数字，它仅仅与前面两个相邻的斐波那契数字相关，再往前的斐波那契数字与它无关。这就给我们些微的思路，尝试探索用3个单独变量来滚动实现斐波那契数字的求解。假定f1,f2和f3为连续的三个斐波那契数字，f3=f1+f2, 接下来把f2赋值给f1, f3赋值给f2，神奇的事情就会发生，让我们看具体的代码实现。

int fib_scrolling_array(int n)
{
    int i;
    int f1;
    int f2;
    int f3;

    f1=1;
    f2=1;

    for(i=3;i<=n;i++)
    {
        f3=f1+f2;
        f1=f2;
        f2=f3;
    }

    return f3;
}

用图来进一步解释说明，可以观察出，f2和f3不断滚动到f1和f2, 周而复始，最终求得f3具体值，由于新值与旧值不断交换，形象称之为滚动。

上述例子可以看出，通过合理的变量设定，可以把占用空间从n降低为3个变量，但是工程问题永远都有两面性，减少了储存空间，那么如果要查找，就只能找到至多三个斐波那契数字，如果设定的一维数组，那么就可以通过下标任意查询。具体采用哪种模式，需要根据具体问题具体分析。

3. 二维数组简化为一维数组

很多情况下，动态规划问题的求解有赖于DP二维数组，通过dp[i][j]与前面已知求得的解进行关联求和或求布尔运算，从而求出dp[i][j]的具体值。

看一个具体例子，前面曾经提到的 不同路径II的问题，常规情况下，利用二维DP数组进行求解，如果采用滚动数组的概念，则可以把二维数组优化为一维数组，如果进一步深入理解，也就是把二维数组的n×m个变量空间优化为m个变量空间，从形式上直观理解，二维数组自然退化为一维数组。

先给出 不同路径II的问题描述，问题引用自leetcode.

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

这个问题可以称之为条件式的动态规划问题，这源于障碍物的限制，障碍物限制会导致递归模式中的剪枝情况出现，本问题采用DP迭代动态规划，它会通过判断语句，对不同的dp[i]][j]进行赋值。

动态规划的重要特征是通过最优化子问题定义状态转移方程，可以理解为先定义最优化子问题，然后通过定义的子问题递归或迭代求出原问题的解。

对于此问题，题目要求求解最终不同路径的数目，同时限制了路径的走向，对于任意一个坐标点f(i,j)，如果需要求出到达此点的路径的总数目，可以分两种情况：

• 情况1，如果此处存在路障，那么f(i,j)=0, 用编程语言描述，如果路障数组在某处obstacleGrid[i][j]的值为1，那么这个点和之前任何点都没有关系，到达此处的路径总数为0