R2=[corr(y,y^)]2R^2=[corr(y,\hat{y})]^2R2=[corr(y,y^)]2
Proof:
R2=SSESST=∑i=1n(yi^−yˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2R^2=\dfrac{SSE}{SST}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n(\hat{y_i}-\bar{y})^2}{\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}R2=SSTSSE=i=1∑n(yi−yˉ)2i=1∑n(yi^−yˉ)2
[corr(y,y^)]2=[Cov(y,y^)Var(y)Var(y^)]2=(Cov(y,y^))2Var(y)Var(y^)[corr(y,\hat{y})]^2=[\dfrac{Cov(y,\hat{y})}{\sqrt{Var(y)Var(\hat{y})}}]^2=\dfrac{(Cov(y,\hat{y}))^2}{Var(y)Var(\hat{y})}[corr(y,y^)]2=[Var(y)Var(y^)Cov(y,y^)]2=Var(y)Var(y^)(Cov(y,y^))2
Cov(y,y^)=1n∑i=1n(yi−yˉ)(yi^−y^ˉ)Cov(y,\hat{y})=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\bar{y})(\hat{y_i}-\bar{\hat{y}})Cov(y,y^)=n1i=1∑n(yi−yˉ)(yi^−y^ˉ)
Var(y)=1n∑i=1n(yi−yˉ)2Var(y)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2Var(y)=
证明$R^2=[corr(y,\hat{y})]^2$
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