证明$R^2=[corr(y,\hat{y})]^2$

最新推荐文章于 2022-11-14 11:37:09 发布

原创

最新推荐文章于 2022-11-14 11:37:09 发布 · 6k 阅读

24 ·

CC 4.0 BY-SA版权

这篇内容详细证明了$R^2$等于相关系数平方的数学推导，通过展示$R^2 = [corr(y, hat{y})]^2$的等式成立，涉及协方差、方差和均值的概念。最后，通过一系列代数操作验证了等式的正确性。" 118464948,11209044,Java编程选择题解析及答案,"['Java基础', '编程知识', '字符串操作', '数据类型']

$R2=[corr(y,y^)]2R^2=[corr(y,\hat{y})]^2$
Proof:
$R2=SSESST=∑i=1n(yi^−yˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2R^2=\dfrac{SSE}{SST}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n(\hat{y_i}-\bar{y})^2}{\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}$
$[corr(y,y^)]2=[Cov(y,y^)Var(y)Var(y^)]2=(Cov(y,y^))2Var(y)Var(y^)[corr(y,\hat{y})]^2=[\dfrac{Cov(y,\hat{y})}{\sqrt{Var(y)Var(\hat{y})}}]^2=\dfrac{(Cov(y,\hat{y}))^2}{Var(y)Var(\hat{y})}$
$Cov(y,y^)=1n∑i=1n(yi−yˉ)(yi^−y^ˉ)Cov(y,\hat{y})=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\bar{y})(\hat{y_i}-\bar{\hat{y}})$
$Var(y)=1n∑i=1n(yi−yˉ)2Var(y)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2$