【数据结构】递归

1.递归的定义

  • 若一个对象部分地包含它自己或者用它自己给自己定义,则称这个对象是递归的。
  • 若一个过程直接地或者间接地调用自己,则称这个过程是递归的过程。

2.递归条件

  • 缩小问题规模,使新问题与原问题具有相同的解决形式。
  • 设置递归的出口(存在简单场景,可以使递归在简单场景下退出)。

3.时间复杂度&空间复杂度&深度

递归算法的时间复杂度:递归总次数*每次递归次数
递归算法的空间复杂度:递归深度*每次创建对象的个数
递归算法的深度:每次递归空间大小*N

4.尾递归

  • 定义
    在递归函数中,递归调用返回的结果总被直接返回则称为尾递归。

  • 本质
    将单次计算的结果缓存起来,传递给下次调用,相当于自动累积。

5.递归的应用

  • 斐波那契数列

举个栗子,大家都知道“斐波那契数”,即1,1,2,3,5,8,13……以此为规律排列下去。那么,要想实现斐波那契数列,可以通过循环和递归两种方法,下面分别给出。

【递归写法】

long long Fib(int N)
{
    if (N < 3)
        return 1;
    return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

int main()
{
    cout << Fib(5) << endl; //5
    return 0;
}

分析:
时间复杂度:o(2^N)
空间复杂度:N-1
深度:O(N)

若要求对上述方法进行改进,使得其空间复杂度满足O(N),则我们可以通过尾递归的方法实现,代码如下:

【尾递归写法】

int Fib(int N, int first, int second)
{
    if (N < 3)
        return 1;
    if (N == 3)
        return first + second;
    return Fib(N - 1, second, first + second);
}

int main()
{
    cout << Fib(5, 1, 1) << endl;
    return 0;
}

分析:
时间复杂度:O(N)
空间复杂度:O(1)

栈环境只创建一份,无函数调用,直接发生跳转。

【循环写法】

long long Fib(int N)
{
    if (N < 3)
        return 1;  
    long long first = 1;
    long long second = 1;
    long long count = 0;
    while (N>=3)
    {
        count = first + second;
        first = second;
        second = count;
        N--;
    }
    return count;
}
int main()
{
    cout<<Fib(7)<<endl;
    return 0;
}
  • 二分查找
    【递归写法】

版本一:左闭右开 [)

int BinarySearch(int arr[], int left, int right, int key)
{
    int mid = left - (left - right) / 2;
    while(left < right)
    {
        if (arr[mid] == key)
            return mid;
        else if (arr[mid] > key)
        {
            return BinarySearch(arr, left, mid, key);
        }
        return BinarySearch(arr, mid + 1, right, key);
    }
    return -1;
}
int main()
{
    int arr[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };
    int ret = BinarySearch(arr, 2, 6, 4);
    cout << ret << endl;
    return 0;
}

版本二:左闭右闭 []

int BinarySearch(int arr[], int left, int right, int key)
{
    int mid = left - (left - right) / 2;
    while (left <= right)
    {
        if (arr[mid] == key)
            return mid;
        else if (arr[mid] > key)
        {
            return BinarySearch(arr, left, mid-1, key);
        }
        return BinarySearch(arr, mid + 1, right, key);
    }
    return -1;
}
int main()
{
    int arr[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };
    int ret = BinarySearch(arr, 2, 6, 5);
    cout << ret << endl;
    return 0;
}

【非递归写法】

int BinarySearch(int arr[], int left, int right, int key)
{
    int mid = left - (left - right) / 2;
    while (left <= right)
    {
        if (arr[mid] == key)
            return mid;
        else if (arr[mid] > key)
        {
            right = mid - 1;
        }
        else
            left = mid + 1;
    }
    return -1;
}
int main()
{
    int arr[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };
    int ret = BinarySearch(arr, 2, 6, 5);
    cout << ret << endl;
    return 0;
}
  • 求一个数组的全排列
void Perm(int array[], int size, int N)
{
    int i;
    if (size <= N)
    {
        for (i = 0; i < size; ++i)
            cout << array[i] << " ";
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for (i = N; i < size; ++i)
        {
            swap(array[i], array[N]);
            Perm(array, size, N + 1);
            swap(array[i], array[N]);
        }
    }
}

int main()
{
    int array[] = { 1, 2, 3, 4 };
    cout << Perm(array, 4, 2) << endl; //1 2 3 4  1 2 4 3
    cout << Perm(array, 4, 0) << endl; //全排
    return 0;
}
### 数据结构中的递归实现与应用 #### 什么是递归递归是一种解决问题的方式,其核心思想是通过将复杂问题分解成更简单的子问题来求解。在数据结构领域中,递归被广泛应用于处理非线性结构的问题,例如二叉树、图等。递归的关键在于定义好基本情形(base case),即不需要进一步递归就能直接得出结果的情况,以及递推关系(recursive relation),即将当前问题转化为规模较小的同类问题的过程[^1]。 #### 递归的工作机制 当程序执行递归时,每一步都会涉及对当前层次的据进行操作,并可能触发下一层级的递归调用。为了管理这些不同层级的操作状态,“递归工作栈”起到了至关重要的作用。“递归工作栈”保存了每次函调用的信息,包括局部变量、参和返回地址等内容。这使得每一层递归都能独立运行并最终回退到上一层次继续完成剩余的任务[^2]。 #### 递归的应用实例:二叉查找树的查找操作 以二叉查找树为例,可以清晰地看到递归是如何工作的。假设我们需要在一个已构建好的二叉查找树中找到某个特定值 `x` 所对应的节点,则可以通过以下逻辑逐步缩小搜索范围直至定位目标: - 如果当前节点为空 (`NULL`) ,则表示未发现匹配项; - 若待查值小于当前节点存储值,则进入左子树重复相同过程; - 反之,若大于该节点值,则转向右子树实施同样策略; - 当两者相等时,说明已经找到了所需记录的位置可以直接返回此节点指针作为结果。 以下是基于上述描述的一个具体 C 风格代码片段用于演示这一流程: ```c pTreeNode Find(pTreeNode T, DataType x) { if (T == NULL) return NULL; if (x < T->data) return Find(T->LeftChild, x); else if (x > T->data) return Find(T->RightChild, x); else return T; } ``` 这段代码体现了典型的分治法思路下的递归解决方案设计模式[^3]。 ### 总结 综上所述,递归作为一种强大的工具,在面对诸如遍历树形其他嵌套型据集合等问题时表现出极大的灵活性和简洁度。然而值得注意的是合理设置终止条件的重要性以免陷入无限循环之中造成堆栈溢出错误等情况发生。
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