编译原理个人作业--第二章

第二章

6

文法$G_6$为

$$N\to D|ND$$

$$d\to 0|1|2|3|4|5|6|7|8|9$$

6.1

首先$L(G)$表示文法G产生的全部句子的集合 —— 语言

不难发现，由递归的定义

L(G6)={D,DD,DDD,DDDD...}L(G_6) = \{D, DD, DDD, DDDD ...\}L(G6​)={D,DD,DDD,DDDD...}
将上述的D全部换成数字字符
得到的便是数字字符串全体

6.2

给出句子012、 34、 568最左推导和最右推导

先明确定义：

• 最左推导：任何一步$\alpha \Rightarrow \beta$都是对$\alpha$中的最左非终结符进行替换。

$$\begin{gathered} N\Rightarrow ND\Rightarrow NDD\Rightarrow NDDD\Rightarrow DDDD \\ \Rightarrow 0DDD\Rightarrow 01DD\Rightarrow 012D\Rightarrow 0127 \end{gathered}$$

$$N\Rightarrow ND\Rightarrow DD\Rightarrow 3D\Rightarrow 34$$

$$N\Rightarrow ND\Rightarrow NDD\Rightarrow DDD\Rightarrow 5DD\Rightarrow 56D\Rightarrow 568$$

• 最右推导：任何一步任何一步$\alpha \Rightarrow \beta$都是对$\alpha$中的最右非终结符进行替换。也称规范推导(canonical derivations)。

$$\begin{gathered} N\Rightarrow ND\Rightarrow N7\Rightarrow ND7\Rightarrow N27 \\ \Rightarrow ND27\Rightarrow N127\Rightarrow D127\Rightarrow 0127 \end{gathered}$$

$$N\Rightarrow ND\Rightarrow N4\Rightarrow D4\Rightarrow 34$$

$$N\Rightarrow ND\Rightarrow N8\Rightarrow ND8\Rightarrow N68\Rightarrow D68\Rightarrow 568$$

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写一个文法让他的语言为十进制表示的正奇数集，不以0开头

$$\begin{gathered} S\to O|NO \\ N\to NP|1|2|3|4|5|6|7|8|9 \\ P\to 0|1|2|3|4|5|6|7|8|9 \\ O\to 1|3|5|7|9 \end{gathered}$$

8

文法为

$$\begin{gathered} E\to T|E+T|E-T \\ T\to F|T\ast F|T/F \\ F\to (E)|i \end{gathered}$$

8.1

给出 i+i*i和i*(i+i)最左推导和最右推导

• 最左推导

$$\begin{gathered} E\Rightarrow E+T\Rightarrow T+T\Rightarrow F+T\Rightarrow i+T \\ \Rightarrow i+T\ast F\Rightarrow i+F\ast F\Rightarrow i+i\ast F\Rightarrow i+i\ast i \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} E\Rightarrow T\Rightarrow T\ast F\Rightarrow F\ast F\Rightarrow i\ast F\Rightarrow i\ast (E)\Rightarrow i\ast (E+T) \\ \Rightarrow i\ast (T+T)\Rightarrow i\ast (F+T)\Rightarrow i\ast (i+T)\Rightarrow i\ast (i+F)\Rightarrow i\ast (i+i) \end{gathered}$$

• 最右推导

$$\begin{gathered} E\Rightarrow E+T\Rightarrow E+T\ast F\Rightarrow E+T\ast i\Rightarrow E+F\ast i\Rightarrow E+i\ast i \\ \Rightarrow T+i\ast i\Rightarrow F+i\ast i\Rightarrow i+i\ast i \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} E\Rightarrow T\Rightarrow T\ast F\Rightarrow T\ast (E)\Rightarrow T\ast (E+T)\Rightarrow T\ast (E+F)\Rightarrow T\ast (E+i) \\ \Rightarrow T\ast (T+i)\Rightarrow T\ast (F+i)\Rightarrow T\ast (i+i)\Rightarrow F\ast (i+i)\Rightarrow i\ast (i+i) \end{gathered}$$

8.1

给出 i+i+i、i+i*i、i-i-i的语法树

以最左推导生成

9

证明文法二义

$$S\to iSeS|iS|i$$

• 如果一个文法存在某个句子对应两颗不同的语法树，则说这个文法是二义的

于是我们可以从最左推导和最右推导出相同的句子

最左

$$S\Rightarrow iSeS\Rightarrow iiSeS\Rightarrow iiieS\Rightarrow iiiei$$

最右推导

$$S\Rightarrow iS\Rightarrow iiSeS\Rightarrow iiSei\Rightarrow iiiei$$

对应的语法树完全不一样
所以具有二义性

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文法改写为无二义的

$$S\to SS|(S)|()$$

表示有效括号的所有生成

这里由于S在右侧出现了两次，导致最右推导和最左推导生成的语法树可能会不一致，所以应把SS拆分

$$\begin{gathered} S\to AS|A \\ A\to (S)|() \end{gathered}$$
将括号内部的生成完全隔离

还可以写成如下形式

$$\begin{gathered} S\to SA|A \\ A\to (S)|() \end{gathered}$$

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给出语言的相应文法

L1={anbnci∣n≥1,i≥0}L2={aibncn∣n≥1,i≥0}L3={anbnambm∣n,m≥0}L4={1n0m1m0n∣n,m≥0} L_1 = \{a^nb^nc^i|n\ge 1, i\ge 0\}\\ L_2 = \{a^ib^nc^n|n\ge 1, i\ge 0\}\\ L_3 = \{a^nb^n a^mb^m|n,m\ge 0\}\\ L_4 = \{1^n0^m 1^m0^n|n,m\ge 0\} L1​={anbnci∣n≥1,i≥0}L2​={aibncn∣n≥1,i≥0}L3​={anbnambm∣n,m≥0}L4​={1n0m1m0n∣n,m≥0}

L1

或者

$$\begin{gathered} S\to BC \\ B\to Ab \\ A\to aB|a \\ C\to CC|c|ϵ \end{gathered}$$

可以稍微精简一下

$$\begin{gathered} S\to BC \\ B\to ab|aBb \\ C\to Cc|ϵ \end{gathered}$$

L2

$$\begin{gathered} S\to AC \\ C\to Bc \\ B\to b|bC \\ A\to Aa|ϵ \end{gathered}$$

也可以把B和C精简成
$$C\to bc|bCc$$

L3

$$\begin{gathered} S\to LR \\ L\to aLb|ϵ \\ R\to aRb|ϵ \end{gathered}$$

L4

$$\begin{gathered} S\to ϵ|B \\ B\to 1B0|D \\ D\to 0D1|ϵ \end{gathered}$$

检查发现貌似第一步$S\to ϵ$可以省略掉

$$\begin{gathered} S\to B \\ B\to 1B0|D \\ D\to 0D1|ϵ \end{gathered}$$

感觉可以直接把S和B看作同一个东西，继续化简

$$\begin{gathered} S\to 1S0|D \\ D\to 0D1|ϵ \end{gathered}$$