03笔记离散数学——一阶逻辑——基于离散数学(第3版)_章炯民,陶增乐

本文深入探讨了一阶逻辑中的谓词和谓词公式，包括个体词、谓词、个体常量和变量的概念，以及谓词公式的构造和解释。重点介绍了量词的否定、交换、消去、换名、分配等恒等式，前束范式和推理规则，如全称量词的消去和引入规则，以及存在量词的消去和引入规则。

谓词和谓词公式

概念

个体词 命题中独立存在的个体，相当于主语、宾语
谓词用于刻画个体的性质或它们之间的关系相当于谓语
个体常量 特定个体的个体此，一般abc表示
个体变量 抽象或泛指个体，一般xyz表示
个体域 个体变量所有可能取到的值的集合
全总个体域 所有个体组成

n元谓词 谓词P设计n个个体，记P(x1……xn)
0元谓词 命题可以认为是0元谓词

谓词公式

项递归
1）个体此（常量、变量）是项
2）f是n元函数符号，t1……tn是项，则f（t1……tn）
3）所有项都是通过有限次的（1)(2)之后得到的符号串

谓词公式
1）P是n元谓词符号，t1……tn是项，P（t1……tn）是谓词公式
2）若A和B是谓词公式则
$(¬A)(A∧B)(A∨B)(A→B)(A↔B)(\lnot A) \quad(A\land B)\quad (A\lor B)\quad(A\rightarrow B) \quad(A\leftrightarrow B)$
都是谓词公式
3）若A是谓词公式，x是个体变量，则
$∀xA∃xA\forall xA\quad\exist xA$ 也是谓词公式

指导变量：x
辖域：A
辖域中x称为约束变量
A中的非约束变量称为自由变量

解释
1）非空个体域D
2）为公式中每个自由变量和常量符号分别指定一个D的特定元素
3）指定该公式中n元函数符号为D^n到D的函数
4）指定公式中n元谓词符号为D^n到{0，1}的函数

有效公式 谓词公式A在所有解释下真值为真
矛盾公式 谓词公式A在所有解释下真值为假
可满足公式 A至少存在一种让他成真的解释

代换实例：
A是含命题变量p1……pn的命题公式，其中n为正整数，A1……An是n个谓词公式，用Ai替换掉A中pi,得到的谓词公式称为A的代换实例

谓词公式的等值演算和前束范式

A(x,y)表示任意含自由变量x,y的谓词公式，A(x)和B(x)表示任意含自由变量x的谓词公式，B表示任意不含自由变量x的谓词公式。下面谓词公式恒等式成立
1）量词否定
$¬∀A(x)⇔∃x¬A(x)¬∃A(x)⇔∀x¬A(x)\lnot \forall A(x) \Leftrightarrow \exist x\lnot A(x)\quad\lnot \exist A(x) \Leftrightarrow \forall x\lnot A(x)$

2）量词交换
$∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)∃x∃yA(x,y)⇔∃y∃xA(x,y)\forall x\forall y A(x,y) \Leftrightarrow \forall y\forall x A(x,y)\quad\exist x\exist y A(x,y) \Leftrightarrow \exist y\exist x A(x,y)$
3）量词消去
$∃xB⇔B∀xB⇔B\exist x B\Leftrightarrow B \quad \forall x B\Leftrightarrow B$
4）换名
$∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)\forall x (A(x)\land B(x))\Leftrightarrow\forall xA(x)\land\forall xB(x) \\ \exist x (A(x)\lor B(x))\Leftrightarrow\exist xA(x)\lor\exist xB(x)$
5）量词分配
$∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)\forall x(A(x)\land B(x))\Leftrightarrow\forall xA(x)\land\forall xB(x) \\ \exist x(A(x)\lor B(x))\Leftrightarrow\exist xA(x)\lor\exist xB(x)$
6）量词辖域收缩与扩张
$∀(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B,∃(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B∀(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B,∃(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B\forall (A(x)\lor B)\Leftrightarrow \forall xA(x)\lor B,\quad\exist (A(x)\land B)\Leftrightarrow \exist xA(x)\land B \\ \forall (A(x)\land B)\Leftrightarrow \forall xA(x)\land B,\quad\exist (A(x)\lor B)\Leftrightarrow \exist xA(x)\lor B$