2017乌鲁木齐ICPC: A. Coins(概率DP)

本文介绍了一款关于硬币翻转的游戏,并提供了一个通过动态规划解决该问题的方法。游戏中玩家的目标是在限定次数内,通过每次翻转指定数量的硬币来最大化正面朝上硬币的数量期望。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

 

A. Coins

Alice and Bob are playing a simple game. They line up a row of nn identical coins, all with the heads facing down onto the table and the tails upward.

For exactly mm times they select any kk of the coins and toss them into the air, replacing each of them either heads-up or heads-down with the same possibility. Their purpose is to gain as many coins heads-up as they can.

Input

The input has several test cases and the first line contains the integer t (1 \le t \le 1000)t(1≤t≤1000) which is the total number of cases.

For each case, a line contains three space-separated integers nn, m (1 \le n, m \le 100)m(1≤n,m≤100) and k (1 \le k \le n)k(1≤k≤n).

Output

For each test case, output the expected number of coins heads-up which you could have at the end under the optimal strategy, as a real number with the precision of 33 digits.

样例输入

6
2 1 1
2 3 1
5 4 3
6 2 3
6 100 1
6 100 2

样例输出

0.500
1.250
3.479
3.000
5.500
5.000

 

题意:

n枚硬币,一开始全部反面朝上,之后你每次可以任选其中k枚硬币并同时投掷(结果50%正面50%反面),求m轮投掷之后正面朝上的硬币数量期望(你当然想让这个期望尽可能大从而每次尽可能选择反面朝上的硬币进行投掷)

 

思路:

m和m和k范围都特别小,dp[x][y]表示x轮投币之后反面朝上的硬币数量期望

最后答案就是

\small \sum_{i=0}^ndp[m][i]*(n-i)

不用担心中间数据过大损失精度,精度要求其实不高,不要低估double的能力哦

 

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
double dp[105][105], C[105][105], er[105] = {1};
int main(void)
{
	double ans;
	int T, n, m, k, i, j, p;
	for(i=0;i<=102;i++)
		C[i][0] = 1;
	for(i=1;i<=102;i++)
	{
		er[i] = er[i-1]*2;
		for(j=1;j<=i;j++)
			C[i][j] = C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
	}
	scanf("%d", &T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
		for(i=0;i<=m;i++)
		{
			for(j=0;j<=n;j++)
				dp[i][j] = 0;
		}
		dp[0][n] = 1;
		for(i=0;i<=m-1;i++)
		{
			for(j=0;j<=n;j++)
			{
				for(k=0;k<=p;k++)
				{
					if(j<=p)
						dp[i+1][k] += dp[i][j]*C[p][k]/er[p];
					else
						dp[i+1][j-p+k] += dp[i][j]*C[p][k]/er[p];
				}
			}
		}
		ans = 0;
		for(i=0;i<=n;i++)
			ans += (n-i)*dp[m][i];
		printf("%.3f\n", ans);
	}
	return 0;
}

 

<think>好的,我现在需要帮助用户查找ICPC南京区域赛题目I(Counter)的解法或讨论。首先,我需要确认用户提到的具体是哪一年的比赛。根据用户提供的引用,引用了2020、2021、2022年的南京区域赛内容,但问题I(Counter)可能出现在不同年份的比赛中。 接下来,我需要检查提供的引用内容,看看是否有提到Problem I或Counter相关的信息。引用[1]提到用户请求关于序列的问题,可能与Counter题目的内容相关。引用[2]提到关于处理ai=0的情况,这可能与问题中的某些条件有关。引用[3]是2020年的题解,其中包含n的范围,可能与题目中的参数相关。引用[4]和[5]分别涉及其他问题,可能不直接相关。 假设用户指的是2022年的题目,因为引用[1]提到了2022南京补题记录中的问题I。不过,引用中并没有直接给出问题I的解法。可能需要进一步分析题目可能的解法方向。 根据常见的竞赛题目类型,Counter可能涉及计数问题,可能与组合数学、动态规划或数学推导相关。例如,可能需要找到满足特定条件的排列数或序列数。结合引用[2]中提到的处理ai=0的情况,可能题目中存在某种递推关系或需要排除某些特殊情况。 此外,引用[3]中提到的n的范围到1e6,可能意味着需要线性或O(n)的算法,而不是暴力解法。这可能涉及数学公式或预处理技巧。例如,快速幂、组合数预处理或模运算优化。 可能的解决步骤包括: 1. 确定题目的具体要求,例如计算满足某种条件的计数器值。 2. 分析输入条件和约束,确定算法复杂度要求。 3. 推导数学公式,可能需要递推关系或组合数学的知识。 4. 处理特殊情况,如ai=0的情况,如引用[2]所述。 5. 实现高效的代码,可能利用动态规划或数学优化。 由于用户提供的引用中没有详细的题解,可能需要根据常见的竞赛题目模式进行推测。例如,如果题目涉及计数满足某种排列条件的序列,可能需要使用排列组合或容斥原理。或者,如果涉及动态规划,可能需要状态转移方程的推导。 在生成回答时,需要结合可能的解题方向,并引用相关的引用内容来支持解释。例如,引用[2]提到的处理ai=0的情况可能涉及到排除无效情况或计算贡献,引用[3]中的n范围提示需要高效算法。 最后,生成相关问题,帮助用户进一步理解题目可能的解法和优化方向。</think>### ICPC南京区域赛题目I(Counter)解法分析 根据现有信息推测,题目I(Counter)可能与**序列计数**或**数学推导**相关。结合引用[2]中提到的"ai=0"处理方式,以及竞赛题常见模式,解法可能涉及以下关键点: 1. **问题建模** - 需要计算满足特定条件的序列数量,例如:相邻元素关系、模数约束等 - 可能涉及排列组合数学,例如构造满足$a_i \equiv c \mod m$条件的序列 2. **关键观察** - 当$a_i=0$时,可通过数学推导直接计算其对答案的贡献[^2] - 可能存在递归关系或快速幂优化,尤其当$n \leq 10^6$时需要线性算法[^3] 3. **算法设计** ```python # 示例伪代码结构(假设为递推关系) MOD = 10**9+7 n = int(input()) dp = [0]*(n+1) dp[0] = 1 for i in range(1, n+1): dp[i] = (dp[i-1] * k) % MOD # k为状态转移参数 print(dp[n]) ``` 4. **复杂度优化** - 预处理阶乘/逆元加速组合数计算 - 矩阵快速幂优化递推关系 - 利用模运算性质减少计算量[^4]
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