bzoj 4522: [Cqoi2016]密钥破解

最新推荐文章于 2025-08-05 15:27:11 发布

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本文介绍了一种非对称加密算法的密钥生成过程，并提出了解决方案来破解此加密算法。具体包括大数分解、扩展欧几里得算法等关键步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

4522: [Cqoi2016]密钥破解

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 512 MB
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Description

一种非对称加密算法的密钥生成过程如下：
1. 任选两个不同的质数 p ，q
2. 计算 N=pq , r=(p-1)(q-1)
3. 选取小于r ，且与 r 互质的整数 e
4. 计算整数 d ，使得 ed≡1 mod r
5. 二元组 (N,e) 称为公钥，二元组 (N,d) 称为私钥
当需要加密消息 n 时（假设 n 是一个小于 N 整数，因为任何格式的消息都可转为整数表示），使用公钥 (N,e)，按照
n^e≡c mod N
运算，可得到密文 c 。
对密文 c 解密时，用私钥 (N,d) ，按照
c^d≡n mod N
运算，可得到原文 n 。算法正确性证明省略。
由于用公钥加密的密文仅能用对应的私钥解密，而不能用公钥解密，因此称为非对称加密算法。通常情况下，公钥由消息的接收方公开，而私钥由消息的接收方自己持有。这样任何发送消息的人都可以用公钥对消息加密，而只有消息的接收方自己能够解密消息。
现在，你的任务是寻找一种可行的方法来破解这种加密算法，即根据公钥破解出私钥，并据此解密密文。

Input

输入文件内容只有一行，为空格分隔的j个正整数e,N,c。N<=2^62,c<N

Output

输出文件内容只有一行，为空格分隔的k个整数d,n。

Sample Input

3 187 45

Sample Output

107 12

可以说是模拟题了

题目中第一句话：给出两个不同的质数p, q，计算N=p*q

N给你了，那么对N进行分解质因数后一定就是p*q的形式，大数分解用 Pollard_rho

之后算出r，又因为e*d=1modr，那么可以用扩展欧几里得算出d

最后快速幂一下，两个答案就出来了

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define LL long long
int cnt;
LL fat[66], x1, y1;
LL Abs(LL a)
{
	if(a<0)
		a = -a;
	return a;
}
LL Mulit(LL a, LL b, LL mod)
{
	LL ans = 0;
	a %= mod;
	while(b)
	{
		if(b%2)
			ans = (ans+a)%mod;
		a = a*2%mod;
		b /= 2;
	}
	return ans;
}
LL Pow(LL a, LL b, LL mod)
{
	LL ans = 1;
	while(b)
	{
		if(b%2)
			ans = Mulit(ans, a, mod);
		a = Mulit(a, a, mod);
		b /= 2;
	}
	return ans;
}
LL Gcd(LL a, LL b)
{
	if(b==0)
		return a;
	return Gcd(b, a%b);
}
int Miller_Rabin(LL n)
{
	int i, j, k;
	LL a, x, y, mod;
	if(n==2)  return 1;
	if(n<2 || n%2==0)  return 0;
	mod = n-1, k = 0;
	while(mod%2==0)
	{
		mod /= 2;
		k++;
	}
	for(i=1;i<=11;i++)
	{
		a = rand()%(n-1)+1;
		x = Pow(a, mod, n);
		y = 0;
		for(j=1;j<=k;j++)
		{
			y = Mulit(x, x, n);
			if(y==1 && x!=1 && x!=n-1)
				return 0;
			x = y;
		}
		if(y!=1)
			return 0;
	}
	return 1;
}
LL Divi(LL n)
{
	LL i, k, x, y, p, c;
	if(n==1)
		return 1;
	k = 2, p = 1;
	y = x = rand()%n, c = rand()%(n-1)+1;
	for(i=1;p==1;i++)
	{
		x = (Mulit(x, x, n)+c)%n;
		p = Abs(x-y);
		p = Gcd(n, p);
		if(i==k)
			y = x, k *= 2;
	}
	return p;
}
void Pollard_rho(LL n)
{
	LL p;
	if(n==1)
		return;
	if(Miller_Rabin(n))
		fat[++cnt] = n;
	else
	{
		p = Divi(n);
		Pollard_rho(n/p);
		Pollard_rho(p);
	}
}
LL ExGcd(LL a, LL b)
{
	LL t, temp;
	if(b==0)
	{
		x1 = 1, y1 = 0;
		return a;
	}
	t = ExGcd(b, a%b);
	temp = x1;
	x1 = y1;
	y1 = temp-a/b*y1;
	return t;
}
int main(void)
{
	LL e, n, c, r, d;
	scanf("%lld%lld%lld", &e, &n, &c);
	Pollard_rho(n);
	r = (fat[1]-1)*(fat[2]-1);
	d = ExGcd(e, r);
	d = (x1%r+r)%r;
	printf("%lld %lld\n", d, Pow(c, d, n));
	return 0;
}