三维数学基础2:矩阵、齐次坐标

本文介绍了三维数学基础中的矩阵和齐次坐标概念。矩阵在表示线性变换如平移、旋转和缩放中起着关键作用。仿射矩阵是一种特殊的4x4矩阵,用于组合多种变换。矩阵乘法遵循特定规则,单位矩阵和逆矩阵在矩阵运算中有重要作用。齐次坐标则允许通过4x4矩阵方便地处理平移,并能区分向量和点,简化仿射几何变换。

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三维数学基础2:矩阵、齐次坐标

矩阵(matrix)是由 mxn 个标量组成的矩形数组。矩阵便于表示线性变换(transfromation),如平移(translation)、旋转(rotation)和缩放(scaling)。点和矢量都可以用行矩阵(1xn)或列矩阵(mx1)进行表示。

仿射矩阵(affine matrix)

若 3x3 矩阵的所有行和列矢量为单位矢量,则该矩阵称为特殊正交矩阵、各向同性矩阵、标准正交矩阵,这种矩阵表示纯旋转。

变换矩阵:4x4矩阵可以表示任意3维变换,包括平移、旋转和缩放。利用矩阵的乘法,可以将变换矩阵施加在点或矢量上。

仿射矩阵(affine matrix):是一种4x4矩阵,由平移、旋转、缩放或切变(shear)组合而成的变换。

矩阵乘法

若矩阵A、B为变换矩阵,则其乘积 P = AxB 也为变换矩阵,并且变换结果等同于先后进行A、B变换。例如若A为旋转矩阵,B为缩放矩阵,则P能对点或者矢量进行旋转和缩放变换。
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矩阵的乘法不符合交换律,乘法的次序会影响结果。

单位矩阵(identity matrix):单位矩阵乘以任何矩阵,结果都是和原来一样的矩阵。
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逆矩阵(i

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