假设某个数据集包含d个项，试证明：从该数据集提取的可能规则的总数为：R=3^d-2^(d+1)+1.

Jack zhang_0611

于 2020-11-26 19:51:30 发布

阅读量1.2k

点赞数 8

文章标签：数据挖掘

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Jack_ffffff/article/details/110197008

版权

证明：假设某个数据集包含d个项，试证明：从该数据集提取的可能规则的总数为： $R=3^{d}-2^{d+1}+1$ .

例：数据集A={a,b,c},则可能规则有：{a}→{b,c};{b}→{a,c};{c}→{a,b};{a,b}→{c};{a,c}→{b};{b,c}→{a}.

题目出处：数据挖掘导论（完整版）第6章关联分析：基本概念和算法习题5

解：

1.要计算规则X→Y的总数，先计算 $|X\cup Y|$ 的数目，从d项中取k项(k=2,3,4,...,d)，即： $|X\cup Y|=\sum^{d}_{k=2}\binom{d}{k}.$

2.再从k项中取m项(m=1,2,3,...,k-1)作为规则左部的X项集，剩下的(k-m)项自然的成为右部的Y项集，故只需计算一次: $\sum_{m=1}^{k-1}\binom{k}{m}=2^k-\binom{k}{0}-\binom{k}{k}=2^k-2.$

3.当 $X\cup Y$ 的项数为k时，可能规则的数目为： $\binom{d}{k}(2^k-2)$ ,所以当k从2变化至d时，可能规则的总数为： $\sum _{k=2}^{d}\binom{d}{k}(2^k-2)=\sum_{k=2}^{d}\binom{d}{k}2^k-2\sum_{k=2}^{d}\binom{d}{k}.$

i. $\sum_{k=0}^{d}\binom{d}{k}2^k=(2+1)^d=3^d.$

注：牛顿二项式： $(x+y)^n=\binom{n}{0}x^ny^0+\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+...+\binom{n}{n}x^0y^n.$

$\therefore \sum_{k=2}^{d}\binom{d}{k}2^k=\sum_{k=0}^{d}\binom{d}{k}2^k-2\binom{d}{1}-\binom{d}{0}=3^d-2d-1.$

ii. $\sum_{k=2}^{d}\binom{d}{k}=\sum_{k=0}^{d}\binom{d}{k}-\binom{d}{0}-\binom{d}{1}=2^d-1-d.$

iii. $\therefore$ 原式= $(3^d-2d-1)-2(2^d-1-d)=3^d-2^{d+1}+1.$

证毕。

评论

被折叠的条评论为什么被折叠?

到【灌水乐园】发言

查看更多评论

添加红包

成就一亿技术人!

hope_wisdom

发出的红包

实付元

使用余额支付

点击重新获取

扫码支付

钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。