Jzoj4776 排序

本文介绍了一种简单的方法来判断一个整数序列通过仅交换两个元素能否变为有序。算法仅需遍历一次序列,并计数逆序对数量是否小于等于1。

给你一个序列,问你能不能只交换2个元素使得它有序

解法:扫一遍即可,如果可以,那么逆序对<=1

#include<stdio.h>
int main(){
  int n,a,b,num;
  scanf("%d%d",&n,&a);  b=a;
  for(int i=2;i<=n;i++){ scanf("%d",&b);  if(b<a) num++; b=a; }
  if(num<=1) puts("YES"); else puts("NO");
}

### 解题思路 题目要求解决的是一个与图相关的最小覆盖问题,通常在特定条件下可以通过状态压缩动态规划(State Compression Dynamic Programming, SCDP)来高效求解。由于状态压缩的适用条件是状态维度较小(例如K≤10),因此可以利用二进制表示状态集合,从而优化计算过程。 #### 1. 状态表示 - 使用一个整数 `mask` 表示当前选择的点集,其中第 `i` 位为 `1` 表示第 `i` 个节点被选中。 - 定义 `dp[mask]` 表示在选中 `mask` 所代表的点集后,能够覆盖的节点集合。 - 可以通过预处理每个点的邻域信息(包括自身和所有直接连接的点),快速更新状态。 #### 2. 预处理邻域 对于每个节点 `u`,预先计算其邻域范围 `neighbor[u]`,即从该节点出发一步能到达的所有节点集合。这样,在后续的状态转移过程中,可以直接使用这些信息进行合并操作。 #### 3. 状态转移 - 初始化:对每个单独节点 `u`,设置初始状态 `dp[1 << u] = neighbor[u]`。 - 转移规则:对于任意两个状态 `mask1` 和 `mask2`,如果它们没有交集,则可以通过合并这两个状态得到新的状态 `mask = mask1 | mask2`,并更新对应的覆盖范围为 `dp[mask1] ∪ dp[mask2]`。 - 在所有状态生成之后,检查是否某个状态的覆盖范围等于全集(即覆盖了所有节点)。如果是,则记录此时使用的最少节点数量。 #### 4. 最优解提取 遍历所有可能的状态,找出能够覆盖整个图的最小节点数目。 --- ### 时间复杂度分析 - 状态总数为 $ O(2^K) $,其中 `K` 是关键点的数量。 - 每次状态转移需要枚举所有可能的子集组合,复杂度为 $ O(2^K \cdot K^2) $。 - 整体时间复杂度控制在可接受范围内,适用于 `K ≤ 10~20` 的情况。 --- ### 代码实现(状态压缩 DP) ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 25; int neighbor[MAXN]; // 每个节点的邻域 int dp[1 << 20]; // dp[mask] 表示选中的点集合为 mask 时所能覆盖的点集合 int min_nodes; // 最小覆盖点数 void solve(int n, vector<vector<int>>& graph) { // 预处理每个节点的邻域 for (int i = 0; i < n; ++i) { neighbor[i] = (1 << i); // 包括自己 for (int j : graph[i]) { neighbor[i] |= (1 << j); } } // 初始化 dp 数组 memset(dp, 0x3f, sizeof(dp)); for (int i = 0; i < n; ++i) { dp[1 << i] = neighbor[i]; } // 状态转移 for (int mask = 1; mask < (1 << n); ++mask) { if (__builtin_popcount(mask) >= min_nodes) continue; // 剪枝 for (int sub = mask & (mask - 1); sub; sub = (sub - 1) & mask) { int comp = mask ^ sub; if (comp == 0) continue; int new_mask = mask; int covered = dp[sub] | dp[comp]; if (covered == (1 << n) - 1) { min_nodes = min(min_nodes, __builtin_popcount(new_mask)); } dp[new_mask] = min(dp[new_mask], covered); } } } int main() { int n, m; cin >> n >> m; vector<vector<int>> graph(n); for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v; cin >> u >> v; graph[u].push_back(v); graph[v].push_back(u); // 无向图 } min_nodes = n; solve(n, graph); cout << "Minimum nodes required: " << min_nodes << endl; return 0; } ``` --- ### 优化策略 - **剪枝**:当当前状态所用节点数已经超过已知最优解时,跳过后续计算。 - **提前终止**:一旦发现某个状态覆盖了全部节点,并且节点数达到理论下限,即可提前结束程序。 - **空间优化**:可以仅保存当前轮次的状态,减少内存占用。 --- ### 总结 本题通过状态压缩动态规划的方法,将原本指数级复杂度的问题压缩到可接受范围内。结合位运算技巧和预处理机制,能够高效地完成状态转移和覆盖判断操作。 ---
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