贪心算法C++

实际生活中，经常需要求一些问题的“可行解”和“最优解”，这就是所谓的“最优化”问题。 一般来说，每个最优化问题都包含一组“限制条件”和一个“目标函数”，符合限制条件的问题求解方案称为可行解，使目标函数取得最佳值（最大或最小）的可行解称为最优解。 求解最优化问题的算法很多，例如穷举、搜索、动态规划等。贪心法也是求解这类问题的一种常用方法

1. 贪心法的基本思想

贪心法是从问题的某个初始解出发，采用逐步构造最优解的方法，向给定的目标前进。在每一个局部阶段，都做一个“看上去”最优的决策，并期望通过每一次所做的局部最优选择产生出一个全局最优解。做出贪心决策的依据称为“贪心策略”。要注意的是，贪心策略一旦做出，就不可再更改。 与递推不同的是，贪心严格意义上说只是一种策略或方法，而不是算法。推进的每一步不是依据某一个固定的递推式，而是做一个当时“看似最佳”的贪心选择（操作），不断将问题归纳为更小的相似子问题。所以，归纳、分析、选择正确合适的贪心策略，是解决贪心问题的关键。

例：删数

【问题描述】 输入一个高精度的正整数 n（长度小于或等于 240 位），去掉其中任意 s 个数字后剩下的数字按原左右次序将组成一个新的正整数。编程对给定的 n 和 s，寻找一种方案，使得剩下的数字组成的新数最小。

【输入格式】 输入两行，第 1 行为 1 个正整数 n，第 2 行为 1 个整数 s。

【输出格式】 输出一行一个数，表示最后剩下的最小数。

【输入样例】 178543 4

【输出样例】 13

 【问题分析】 为了尽可能逼近目标，选取的贪心策略为：每一步总是选择一个使剩下的数最小的数字删去，即按高位到低位的顺序搜索，若各位数字递增，则删除最后一个数字；否则，删除第一个递减区间的首字符，这样删一位便形成了一个新数字串。然后回到数字串首，按上述规则再删下一个数字。重复以上过程 s 次为止，剩下的数字串便是问题的解。

2. 贪心法的正确性证明

对于一个问题，如果想用贪心法求解，首先要想到基于某种“序”或者“规则”的贪心策略。 其次还要能证明其正确性。要严格证明一个贪心算法的正确性是很困难的，目前最有效的一种方法叫“矩阵胚理论”，但是很复杂。信息学竞赛中常用的贪心证明方法，一般有反证法、构造法、调整法。其实，即使一个贪心算法是不完全正确的，也可以努力寻找一些调整方法，或制定多种贪心策略，通过调整优化、比较择优来争取得到最优解，甚至也可以先得到一个“较优”解，然后，在此基础上进行搜索剪枝或分支定界。

3. 贪心法的经典应用

1、最优装载问题 给 n 个物品，第 i 个物品重量为 wi, 选择尽量多的物体，使得总重量不超过 C。

思路： 贪心策略：每次选最轻的。 把物品按重量从小到大排序，依次选择直到装不下为止。

2、部分背包问题 有 n 个物品，第 i 个物品重量为 wi, 价值为 vi, 在总重量不超过 m 的情况下让总价值最高。 每个物品可以只取走一部分。价值和重量按比例计算。

思路： 贪心策略：每次选性价比最高的。 把物品按 价值/重量 从大到小排序，依次选择直到装不下为止。 一定是最后一个装不下的物品选部分，前面物品全选。

3、乘船问题 有 n 个人，第 i 个人重量为 wi。每艘船的载重量均为 m。 求用最少的船装所有人的方案。

思路： 贪心策略：最重的人和最轻的人呢配对。 先按重量从小到大排序，开 2 个指针分别指向头尾。 尾指针如果能和头指针配对，则同时相向移动，计算+1。 否则尾指针向前移动，计数+1。

4、选择不相交区间问题 n 个开区间 (ai, bi), 选择尽量多的区间，使得这些区间都不相交。

思路： 贪心策略：选对后续区间影响最小的。 按右端点从小到大排序，然后依次选择不会冲突的区间，选完后更新当前限定条件为所选区间的右端点。下次选第一个左端点大于当前限定条件的点的区间。

5、区间选点问题 n 个闭区间 [ai, bi], 选择尽量少的点，使得每个区间都至少有一个点。

思路： 贪心策略：每次选最后一个。 按右端点从小到大排序，然后分别对区间进行选择，如果对于当前区间，集合里的数不能覆盖它，则将该区间末尾的数加入集合。

6、区间覆盖问题 n 个闭区间 [ai, bi], 选择尽量少的区间，使得能完全覆盖住一个指定的区间 [l, r]。

思路： 贪心策略：对于限定条件，每次选满足 ai<=s 的 bi 最大值得区间。 先按左端点从小到大排序，然后依次处理每个区间，维护一个点 s (初始化为指定区间的左端点), 每次选择左端点 <=s 的区间中右端点最大的一个，然后更新 s 为该右端点坐标。

7、流水线作业调度问题 有 n 个作业需要在两台机器 M1，M2组成的流水线上完成加工，每个作业 i 都必须先花时间 ai 在 M1上加工，然后才能在M2上花时间 bi 加工。 确定作业顺序使得所有作业全部完成所用的总时间最短。

思路： 贪心策略：让M1没有空闲，M2空闲时间尽量短。 将作业分成 2 部分： N1 为 a<b 的作业集合，N2为 a>=b 的作业结合。 那么 N1 按 a 的值从小到大排序，N2 按 b 的值 从大到小排序。 最后 N1 接上 N2 的序列即为最优。

8、有限期和罚款的单位时间调度 有 n 个任务。每个任务都需要 1 个时间单位执行，任务 i 的截止时间 di (1<=di<=n) 表示要求任务 i 在时间 di 结束时必须完成，否则将导致 wi 的罚款。 确定任务顺序使罚款最小。

思路： 贪心策略：先完成 wi 大的任务且尽量不影响其他任务。 将任务按 wi 从大到小排序，然后依次对任务进行安排： 若能安排，则找一个最晚的时间； 否则放在最后的空位上。