错位排列——数论

首先先介绍一下什么是错位排列：

错位重排是指一种比较难理解的复杂数学模型，是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题

也是离散课本上出现的戴错帽子问题

---

简介

表述为：编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法？
对这类问题有个   固定的递推公式  （类似于 dp、递推之类的），记n封信的错位重排数为Dn，

则D1=0，D2=1，（0封信错排数是0,一封信错排数是1）
　　Dn=（n-1）*（Dn-2+Dn-1） 此处n-2、n-1为下标

   即 F[N]=(N-1)*( F[N-1] + F[N-2] )

当n>2

我们只需记住Dn的前几项：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44

此时我们只需要记住结论，进行递推计算找出递推方程即可

【例】五个盒子都贴了标签，全部贴错的可能性有多少种？

即全贴错标签，N个项数全部排错的可能数，可以总结出数列：

0，1，2，9，44，265，………

可以得到这样一个递推公式：（N-1）*（A+B）=C （A是第一项，B是第二项，C是第三项，N是项数）

s(n)=(n-1) [ s（n-1）+s（n-2）]

s(2)=1,s(3)=2

s(4)=3*(1+2)=9

s(5)=4*(2+9)=44

s(6)=5*(9+44)=265 ....................

公式由来

把编号 1-------------n的小球放到编号1------n的盒子里，全错位排列（1号球不在1号盒，2号球不在2号盒，依次类推），共有几种情况？

设n个球全放错的情况有 s（n）种

1号盒子可以选   [2,n] 共（n-1）种选择，设1号盒选择某号球后对应的错排次数是  a
（n-1 个选择对应的错排次数是相同的 ，则 s（n）=（n-1）a

不妨设1号盒选择2号球

1： 2号盒选择1号球，剩下 （n-2）个球去错排，有 s（n-2）种情况

2： 2号盒不选择1号球，则后面总有一个盒子选择1号球，我们可以把1号球换成2号球，

对问题没有影响，此时就相当于对（n-1）个球去错排，有s（n-1）种情况

于是       a= s（n-1)+s(n-2)

s(n)=(n-1) [ s（n-1）+s（n-2）]

s(2)=1,s(3)=2

s(4)=3*(1+2)=9

s(5)=4*(2+9)=44

s(6)=5*(9+44)=265 ....................

 

以上来自百度百科

---

po一个例题

国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的: 

首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排; 
然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个. 
最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板... 

看来做新郎也不是容易的事情... 

假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能. 

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)。 

Output

对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。 

Sample Input

2
2 2
3 2

Sample Output

1
3

用到了错位排列

错排：有n对新婚夫妇，对应新娘在（1-n）n个位置上，让各位新郎寻找自己的新娘，全部找错共有多少种找法，记n个元素的错排总数为f(n)

假设有n个新郎，第一个新郎可找  2-n   的任一个位置，共n-1种找法

设第一个新郎找到了第 k 个位置，若此时第 k 个新郎正好找到了第 1 个位置，

则只要将剩下的 n-2 错排，即f (n-2)，就能实现全错排，

若第k个新郎没有找到第1个位置，则将 n-1 个位置错排，即为f(n-1)

由递推可得,f(n)=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2))

 

N个新郎找出M个新郎找错新娘，我们需要用到排列组合在 N 个新郎中选出是哪 M 个新娘，就是

C(n,m)=n!/m!/(n-m)!

用该组合数再去乘错位排列数就是该结果

Code：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL f[30];
LL s[30];
int main()
{
    LL n,m,t;
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[1]=0,f[2]=1;  
    for(LL i=3;i<=30;i++)
        f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]); // 求错位排列数
    s[0]=1,s[1]=1;
    for(LL i=2;i<=30;i++){
        s[i]=s[i-1]*i;// 求阶乘的代码，打表
    }
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>m;
        LL x=s[n]/s[m]/s[n-m];
        cout<<x*f[m]<<endl;
    }
}