01背包及其推广 实验报告（含代码）

一、01背包

有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大——这就是标准的背包问题。

每一件物品只有两个状态，取或者不取，用0和1表示，就成了01背包。解决背包问题的基本思路分为三步：（这里不考虑暴力解法）

1. 确定状态变量（函数）
2. 确定状态转移方程（递推关系）
3. 确定边界

具体实例如下。

物品编号	1	2	3	4
重量	2	3	4	5
价值	3	4	5	8

对于本题，解决思路如下：

1.确定状态变量

创建状态变量dp[i][j]，表示前i件物品放入容量为j的背包所能取到的最大价值。

2.建立递推关系

物品i/容量j	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0
2	0
3	0
4	0

、

当背包容量为0时，所能取到的最大价值均为0；当物品编号为0（即未放入物品时），所能取到的最大价值也均为0.

物品i/容量j	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	3	3	3	3	3	3	3
2	0
3	0
4	0

现在i变为1，即开始放入编号为1的物品。由于其重量为2，只有背包容量大于等于2时才会产生价值（为3）。

物品i/容量j	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	3	3	3	3	3	3	3
2	0	0	3	4	4	7	7	7	7
3	0
4	0

现在i变为2，即同时放入编号为1（w=2）和2（w=3）的物品。只有在背包容量大于等于3时，才可以放入编号2的物品；大于等于5时，才可以同时放入比编号1和2的物品。

下面开始建立递推关系。

分为两种情况：

1.背包当前容量小于第i件物品的重量

此时第i件物品无法放入，那么在背包容量为j的情况下，此时背包能装下的最大容量就是放入第i-1件物品的情况，即dp[i][j]=dp[i-1][j]。

2.背包当前容量大于等于第i件物品的重量。

此时我们可以装入第i件物品，很自然地，我们会考虑装入第i件物品是赚还是不赚，即比较装入与不装入第i件物品，哪个选择带来的利益更大。

如果选择不装入第i件物品，则此时dp[i][j]=dp[i-1][j];

反之，dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]，即，我们选择要装入第i件物品，就会占据w[i]的空间，式子的含义是在减去占据空间的前提下，装入第i-1件物品所能获得的最大价值，再加上第i件物品的价值（装入第i件物品）。

由此，公式得出，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])。

物品i/容量j	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	3	3	3	3	3	3	3
2	0	0	3	4	4	7	7	7	7
3	0	0	3	4	5	7	8	9	9
4	0	0	3	4	5	8	8	9	12

最后，我们输出dp[N][W]，也就是在装入N件物品、背包容量为W的情况下所能携带的最大利润。

3.具体代码实现

#include <iostream>
using namespace std;

#define N 4 // 物品容量
#define W 8 // 背包容量

int w[N+1] = {0,2,3,4,5};    // 重量
int v[N+1] = {0,3,4,5,8};    // 价值

int dp[N+1][W+1];    // 在携带第i件物品的容量为j的情况下背包的最大价值

int main()
{
    for(int i = 1; i <= N; i++)
    {    // 第i件物品
        for(int j = 1; j <=W; j++)
        {
            if(j < w[i])
            {    // 背包当前容量小于第i件物品的重量
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
            else
            {    // 背包当前容量大于等于第i件物品的重量
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
            }
        }
    }

    cout << dp[N][W];

    return 0;
}

注：此部分参考博客【0-1背包问题 】详细解析+图解+详细代码-优快云博客。

二、01背包推广

既然是推广，那么大体思路都是一致的。多了一个限制条件，我们就多设一个维度的数组。

设dp[i][j][k]表示在考虑前i种物品，背包重量限制为j，体积限制为k时，可以获得的最大价值。

按照跟01背包类似的思路，可以总结出以下几个步骤来解决这个问题：

1.初始化数组

在没有物品以及背包容量为0时，显然其最大价值也为0，即dp[0][j][k]（没有物品）= dp[i][0][0]（容量为0）= 0。

2.分情况讨论

对于每个物品i来说（i从1到n），对于每个可能的背包重量j（j从0到W），对于每个可能的背包体积k（k从0到V），我们考虑两种情况，即装入与不装入。

1.不装入第i件物品

在重量与体积条件保持不变的情况下（即还是j和k），最大价值就是装入第i-1件物品时的价值，即dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k]。

2.装入第i件物品

分为装得下和装不下。

如果装得下，需要满足两个条件，即重量wi不超过j，体积ci不超过k，同时还需要跟不装第i件物品时的最大价值进行比较（详细见01背包），即dp[i][j][k]=max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-wi][k-ci]+vi)。

如果装不下，那么最大价值就与不装入一样，即dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k]。

3.输出答案

在经过三层循环遍历后，最终dp[n][W][V]就是我们求得的最大价值。

下面给出具体的代码实现。

#include<iostream>
using namespace std;

#define MAXN 100
#define MAXW 1000
#define MAXV 1000
// 假设最大物品数量为100，背包最大重量为1000，最大体积为1000

int w[MAXN], c[MAXN], v[MAXN];	// 重量，体积，价值
int dp[MAXN + 1][MAXW + 1][MAXV + 1];	// 定义dp数组

int main()
{
	int n, W, V;	// 物品数量，背包重量，背包体积
	cin >> n >> W >> V;	// 输入
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> w[i] >> c[i] >> v[i];
	}	// 输入第i件物品的重量，体积和价值

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{	// 第i件物品
		for (int j = 1; j <= W; j++)
		{	// 重量
			for (int k = 1; k <= V; k++)
			{	// 体积
				// 先对数组进行初始化
				if (i == 0 || j == 0 || k == 0)
				{	// 物品件数，背包重量，背包体积有一个为0，其最大价值就是0
					dp[i][j][k] = 0;
				}
				// 再开始装入物品
				// 如果装得下
				else if (w[i] <= j && c[i] <= k)
				{	// 重量不大于背包重量，体积不大于背包体积
					dp[i][j][k] = max(dp[i - 1][j][k], dp[i - 1][j - w[i]][k - c[i]] + v[i]);
					// 比较是装还是不装，哪个价值更高
				}
				// 如果装不下
				else
				{
					dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
				}
			}
		}
	}

	// 循环完毕，输出结果
	cout << dp[n][W][V];
	
	return 0;
}