数学建模算法 一 简述（1）蒙特卡洛算法

蒙特卡罗方法概述

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。

通俗的讲：
蒙特卡罗算法：采样越多，越近似最优解

举个例子：假如筐里有100个苹果，闭眼拿1个，挑出最大的。于是我随机拿1个，再随机拿1个跟它比，留下大的，再随机拿1个……每拿一次，留下的苹果都至少不比上次的小。拿的次数越多，挑出的苹果就越大，但我除非拿100次，否则无法肯定挑出了最大的。这个挑苹果的算法，就属于蒙特卡罗算法——尽量找好的，但不保证是最好的。

【例】用蒙特卡洛模拟法求圆周率pi
如图，红色线条为平面上圆心在原点的单位圆，圆的面积为pi，黑色线条构成边长为2的正方形

设相互独立的随机变量X，Y均服从[-1,1]上的均匀分布，则(X,Y)服从{-1≤x≤1, -1≤y≤1}上的二元均匀分布（即图中正方形区域上的二元均匀分布），记事件A = {x^2+y^2≤1}，则A事件发生的概率等于单位圆面积除以边长为2的正方形的面积，即P(A) = pi/4。

可得圆周率pi = 4P(A). 而P(A)可以通过蒙特卡洛模拟法求得，在图1中正方形内随机投点（即横坐标X和纵坐标Y都是[-1,1]上均匀分布的随机数），落在单位圆内的点的个数m与点的总数n的比值m/n可以作为A事件的概率P(A)的近似，随着投点总数的增加，m/n会越来越接近于P(A)，从而