Leetcode每日打卡第18天

题目

1547. 切棍子的最小成本

有一根长度为 n 个单位的木棍，棍上从 0 到 n 标记了若干位置。例如，长度为 6 的棍子可以标记如下：

给你一个整数数组 cuts ，其中 cuts[i] 表示你需要将棍子切开的位置。

你可以按顺序完成切割，也可以根据需要更改切割的顺序。

每次切割的成本都是当前要切割的棍子的长度，切棍子的总成本是历次切割成本的总和。对棍子进行切割将会把一根木棍分成两根较小的木棍（这两根木棍的长度和就是切割前木棍的长度）。请参阅第一个示例以获得更直观的解释。

返回切棍子的 最小总成本 。

示例 1：

输入：n = 7, cuts = [1,3,4,5]
输出：16
解释：按 [1, 3, 4, 5] 的顺序切割的情况如下所示：

第一次切割长度为 7 的棍子，成本为 7 。第二次切割长度为 6 的棍子（即第一次切割得到的第二根棍子），第三次切割为长度 4 的棍子，最后切割长度为 3 的棍子。总成本为 7 + 6 + 4 + 3 = 20 。
而将切割顺序重新排列为 [3, 5, 1, 4] 后，总成本 = 16（如示例图中 7 + 4 + 3 + 2 = 16）。

示例 2：

输入：n = 9, cuts = [5,6,1,4,2]
输出：22
解释：如果按给定的顺序切割，则总成本为 25 。总成本 <= 25 的切割顺序很多，例如，[4, 6, 5, 2, 1] 的总成本 = 22，是所有可能方案中成本最小的。

提示：

• 2 <= n <= 10^6
• 1 <= cuts.length <= min(n - 1, 100)
• 1 <= cuts[i] <= n - 1
• cuts 数组中的所有整数都 互不相同

思路

在我们任意一次切割时，待切割木棍的左端点要么是原始木棍的左端点 0，要么是之前某一次切割的位置；同理，待切割木棍的右端点要么是原始木棍的右端点 n，要么是之前某一次切割的位置。

因此，如果我们将切割位置数组 cuts 进行排序，并在左侧添加 0，右侧添加 n，那么待切割的木棍就对应着数组中一段连续的区间。这样一来，我们就可以用动态规划来解决本题。

我们用数组 cuts[1..m] 表示题目中给定的数组 cuts 按照升序排序后的结果，其中 m 是数组 cuts 的长度，并令 cuts[0]=0，cuts[m+1]=n。同时，我们用 f[i][j] 表示在当前待切割的木棍的左端点为 cuts[i−1]，右端点为 cuts[j+1] 时，将木棍全部切开的最小总成本。

这里全部切开的意思是，木棍中有 j−i+1 个切割位置 cuts[i],⋯,cuts[j]，我们需要将木棍根据这些位置，切割成 j−i+2 段。

为了得到最小总成本，我们可以枚举第一刀的位置。如果第一刀的位置为 cuts[k]，其中 k∈[i,j]，那么我们会将待切割的木棍分成两部分，左侧部分的木棍为 cuts[i−1..k]，对应的可以继续切割的位置为 cuts[i..k−1]；右侧部分的木棍为 cuts[k..j+1]，对应的可以继续切割的位置为 cuts[k+1..j]。由于左右两侧均为规模较小的子问题，因此我们可以得到状态转移方程：

f[i][j]= k∈[i,j]min {f[i][k−1]+f[k+1][j]}+(cuts[j+1]−cuts[i−1])
即我们无论在哪里切第一刀，这一刀的成本都是木棍的长度 cuts[j+1]−cuts[i−1]。

状态转移方程的边界条件为：

f[i][j]=0, 其中 i>j
也就是说，如果没有可以切割的位置，那么它要么是一根无法再切割的木棍（此时 i=j+1），要么根本就不是一根木棍（此时 i>j+1）。无论是哪一种情况，对应的最小总成本都是 0。

最后的答案即为 f[1][m]。

细节

在区间动态规划中，我们要注意状态计算的顺序，即在计算 f[i][j] 时，所有满足 k∈[i,j] 的 f[i][k] 和 f[k][j] 都需要已经被计算过。

python3代码

class Solution:
    def minCost(self, n: int, cuts: List[int]) -> int:
        m = len(cuts)
        cuts = [0] + sorted(cuts) + [n]
        f = [[0] * (m + 2) for _ in range(m + 2)]

        for i in range(m, 0, -1):
            for j in range(i, m + 1):
                f[i][j] = 0 if i == j else \
                    min(f[i][k - 1] + f[k + 1][j] for k in range(i, j + 1))
                f[i][j] += cuts[j + 1] - cuts[i - 1]
        
        return f[1][m]