结点对最短路径之Floyd算法原理详解及实现

上两篇博客介绍了计算单源最短路径的Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。Bellman-Ford算法适用于任何有向图，即使图中包含负环路，它还能报告此问题。Dijkstra算法运行速度比Bellman-Ford算法要快，但是其要求图中不能包含负权重的边。

单源最短路径之Bellman-Ford算法

单源最短路径之Dijkstra算法

在很多实际问题中，我们需要计算图中所有结点对间的最短路径。当然，我们可以使用上述两种算法来计算每一个顶点的单源最短路径，对于图G=(V,E)来说，使用Bellman-Ford算法计算结点对最短路径的时间复杂度为O(V^2 * E)，使用Dijkstra算法计算结点对最短路径的时间复杂度为O(V^3)。本文将会介绍一种应用更广泛的算法，而且它可以应用于有负权重边但没有负环路的图中，其时间复杂度为O(V^3)，那就是Floyd-Warshall算法。

1. Floyd算法的原理

在上一篇博客 单源最短路径之Dijkstra算法 中，提到了图的一个重要性质：一条最短路径的子路径也是一条最短路径。因此，一条最短路径要么只包含一条直接相连的边，要么就经过一条或多条到达其它顶点的最短路径。

上图给出的是顶点i到顶点j的路径示意图。i到j的路径为<i,...,k,...,j>，其中顶点k是路径i到j的一个编号最大的中间顶点，即路径<i,...,k>中的所有顶点编号求取自集合{1,2,3,...,k-1}，路径<k,...,j>也是一样的。因为