Euler72

题意：

考虑形如n/d的分数，其中n和d均为正整数。如果n < d且其最大公约数为1，则该分数称为最简真分数。

如果我们将d ≤ 8的最简真分数构成的集合按大小升序列出，我们得到：

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

可以看出该集合中共有21个元素。

d ≤ 1,000,000的最简真分数构成的集合中共有多少个元素？

思路：

​ 就是求前1000000项的欧拉函数和，套用线性筛模版求欧拉函数即可。记住三个原理：1.当n为素数，φ(n) = n - 1

​ 2.当p为素数且p，q互素，φ(p✖️q） = φ§✖️φ(q)

​ 3.当p为素数且p，q不互素，φ(p✖️q） = p✖️φ(q)

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define N 1000000
#define ll long long

int prime[N + 5] = {0};
int book[N + 5] = {0};

void init() {
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        if (!book[i]) {
            book[i] = i - 1;
            prime[++prime[0]] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] <= N; j++) {
            if (i % prime[j] == 0) {
                book[i * prime[j]] = book[i] * prime[j];
                break;
            } else {
                book[i * prime[j]] = book[i] * book[prime[j]];
            }
        }
    }
}

int main () {
    init();
    ll sum = 0;
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        sum += book[i];
    }
    printf("%lld\n", sum);
    return 0;
}

​ 答案为303963552391

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