Project-Euler-003思维+线性筛

最新推荐文章于 2025-07-08 13:13:20 发布

原创最新推荐文章于 2025-07-08 13:13:20 发布 · 350 阅读

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本文通过优化算法，解决了寻找大数600851475143最大质因数的问题。采用线性筛法和平方根优化技巧，将时间复杂度从1e22降至1e6，最终确定最大质因数为6857。

题意：

13195的所有质因数为5、7、13和29。

600851475143最大的质因数是多少？

思路：

600851475143大概是6e11，如果纯暴力找它的每个因子，然后再判断每个因子是不是质数，时间复杂度大约是1e22，家用电脑估计一个小时也跑不完吧～

有些人继续优化，说可以用线性筛求[2,600851475143]范围内的质数，然后找最大满足是600851475143因子的质数。这样时间复杂度是1e11，家里电脑依然跑不完～而且线性筛需要开两个1e11的数组分别用来判断是否为质数和存质数，我们无法开这么大的数组。

这时候，我们就需要明白一点，600851475143的临界值是多少？嗯，这个数的临界值为（int）(sqrt(600851475143))，为什么呢？

仔细想一下，如果最大质因子小于等于(int)(sqrt(600851475143))，那么我们只需要线性筛前(int)(sqrt(600851475143))就可以找出它的最大质因子。

如果最大质因子大于(int)(sqrt(600851475143))，那么600851475143中不可能同时存在两个大于(int)(sqrt(600851475143))的质因子（如果存在，两个质因子相乘就大于600851475143啦），所以我们可以通过除以(int)(sqrt(600851475143))以内所有600851475143的质因子，最后剩下的数，就是大于(int)(sqrt(600851475143))的质因子。

而(int)(sqrt(600851475143))为775146,用线性筛求775146范围内的质数时间复杂度只有1e6左右，家用电脑一秒钟以内肯定能求出来～

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <inttypes.h>
#define ll int64_t
#define d int32_t
#define len 775150
ll n = 600851475143;
//prime[]用于存素数
d prime[len];
//choose[i]用于判断i是否为素数,0是，1不是
bool choose[len];

ll init() {
    ll maxx = 0; 	//用来存储最大的质因子
    prime[0] = 0; 	//用来记录质数个数
    memset (choose, 0, sizeof(choose));
    for (d i = 2; i < len; i ++) {
        if (!choose[i]) {
        	//如果i是素数就添加到prime中
            prime [++prime[0]] = i;
            //如果i是不断缩小的n的因子，则n循环累除i
            if(n % i == 0) {
                while (n % i == 0) {
                    n /= i;
                }
                //更新质因子的最大值
                maxx = i;
            }
        }
        //线性筛的性质
      	for (d j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] < len; j++) {     
            choose[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
    //如果此时n不为1，说明最大质因子大于(int)sqrt(600851475143)
    if (n != 1) {
        maxx = n; //那么更新最大质因子
    }
    return maxx;	//最后返回值即为结果
}

int main() {
    ll ans = init();
    printf("%" PRId64"\n", ans);
    return 0;
}

最后输出答案为6857 ，Over～

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