CodeForces 1105C Ayoub and Lost Array (dp)

最新推荐文章于 2019-02-10 20:42:00 发布

luSpet

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分类专栏： # dp 文章标签： dp cf div2

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本文介绍了一种使用动态规划解决特定数学问题的方法。问题在于从给定区间内的整数中选择N个数，组成一个序列，使得序列元素之和能被3整除，并求出所有可能的序列数量。通过定义状态dp[i][j]表示前i个数的和模3为j的序列数量，利用状态转移方程实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

用 l - r 中的数组成一个n个数的序列且各数之和是3的倍数，求满足条件的序列数量

思路：

将模3的结果看作一种状态，n 个数字的状态由前 n - 1 个数字与第n个数字的状态决定，满足dp的性质

dp[i][j] 表示前 i 个数的和模3为 j 的序列数量

先找出dp[1][0]、dp[1][1]、dp[1][2]的值即 l - r 中的数模3结果分别为0、1、2的数的数量。

n - 1 个数之和模3为 a ，第 n 个数模3为 b ，则 n 个数的·和模3为（a + b）% 3

所以状态转移方程为：

dp[i][0] = (dp[i-1][0]*num[0] + dp[i-1][1]*num[2] + dp[i-1][2]*num[1]) % mod;
dp[i][1] = (dp[i-1][0]*num[1] + dp[i-1][1]*num[0] + dp[i-1][2]*num[2]) % mod;
dp[i][2] = (dp[i-1][0]*num[2] + dp[i-1][1]*num[1] + dp[i-1][2]*num[0]) % mod;

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
long long dp[maxn][3];	//n个数和模3为j
int num[3];
int n,l,r;
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	int a = (r - l + 1) / 3, b = (r - l + 1) % 3;
	int s = l % 3;
	num[s] = a + (b > 0 ? 1 : 0);
	num[(s + 1) % 3] = a + (b > 1 ? 1 : 0);
	num[(s + 2) % 3] = a;
	//for(auto &i : num) cout<<i<<endl;
	dp[1][0] = num[0];
	dp[1][1] = num[1];
	dp[1][2] = num[2];
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	{
		dp[i][0] = (dp[i-1][0]*num[0] + dp[i-1][1]*num[2] + dp[i-1][2]*num[1]) % mod;
		dp[i][1] = (dp[i-1][0]*num[1] + dp[i-1][1]*num[0] + dp[i-1][2]*num[2]) % mod;
		dp[i][2] = (dp[i-1][0]*num[2] + dp[i-1][1]*num[1] + dp[i-1][2]*num[0]) % mod;
	}
	cout<<dp[n][0]<<endl;
}