FZU 2238 Daxia & Wzc's problem【规律+lucas】

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本文介绍了一种解决等差数列多次求和问题的方法，并通过矩阵快速幂和组合数学的方法给出了高效的算法实现。

Daxia在2016年5月期间去瑞士度蜜月,顺便拜访了Wzc,Wzc给他出了一个问题：

Wzc给Daxia等差数列A(0),告诉Daxia首项a和公差d;

首先让Daxia求出数列A(0)前n项和,得到新数列A(1);

然后让Daxia求出数列A(1)前n项和,得到新数列A(2);

接着让Daxia求出数列A(2)前n项和,得到新数列A(3);

…

最后让Daxia求出数列A(m-1)前n项和,得到新数列A(m);

Input
测试包含多组数据,每组一行,包含四个正整数 $a(0<=a<=100),d(0<d<=100),m(0<m<=1000),i(1<=i<=1000000000).$

Output
每组数据输出一行整数,数列A(m)的第i项mod1000000007的值.

Sample Input
1 1 3 4
Sample Output
35
Hint
A(0): 1 2 3 4

A(1): 1 3 6 10

A(2): 1 4 10 20

A(3): 1 5 15 35

So the 4th of A(3) is 35.

分析：第一反应，构造矩阵矩阵快速幂，被时间卡死。
根据等差数列通项公式进行推导，寻找规律。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long int
//lucas 上限为p为1e5左右
const ll p = 1e9 + 7;
ll qkm_mod(ll a, ll b, ll p)
{
    ll res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            (res = res*a) %= p;
        }
        (a = a*a) %= p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
ll comb(ll a, ll b, ll p)
{
    if (a < b)
        return 0;
    if (a == b)
        return 1;
    if (b > a - b)
        a - b;
    ll ans = 1, ca = 1, cb = 1;
    for (ll i = 0; i < b; i++)
    {
        ca = (ca*(a - i)) % p;
        cb = (cb*(b - i)) % p;
    }
    ans = (ca*qkm_mod(cb, p - 2, p)) % p;
    return ans;
}
ll lucas(ll n, ll m, ll p)
{
    ll ans = 1;
    while (n&&m&&ans)
    {
        ans = (ans*comb(n%p, m%p, p)) % p;
        n /= p;
        m /= p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll a, d, m, n;
    while (~scanf("%lld %lld %lld %lld", &a, &d, &m, &n))
    {
        ll ans;
        (ans = lucas(n + m - 1, m, p)*a) %= p;
        (ans += lucas(n + m - 1, m + 1, p)*d) %= p;
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}