鸡蛋掉落

谷歌的一道经典面试题，题目如下：

https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop/

给你 k 枚相同的鸡蛋，并可以使用一栋从第 1 层到第 n 层共有 n 层楼的建筑。

已知存在楼层 f ，满足 0 <= f <= n ，任何从 高于 f 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 f 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。

每次操作，你可以取一枚没有碎的鸡蛋并把它从任一楼层 x 扔下（满足 1 <= x <= n）。如果鸡蛋碎了，你就不能再次使用它。如果某枚鸡蛋扔下后没有摔碎，则可以在之后的操作中 重复使用 这枚鸡蛋。

请你计算并返回要确定 f 确切的值 的 最小操作次数 是多少？

 
示例 1：

输入：k = 1, n = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，肯定能得出 f = 0 。 
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，肯定能得出 f = 1 。 
如果它没碎，那么肯定能得出 f = 2 。 
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 f 是多少。 
示例 2：

输入：k = 2, n = 6
输出：3
示例 3：

输入：k = 3, n = 14
输出：4
 

提示：

1 <= k <= 100
1 <= n <= 104

当把一枚鸡蛋从x楼层扔下时，那么有两种可能，鸡蛋碎了，或者没碎

（1）鸡蛋没碎，那么操作次数为1+f(k,n-x) 

（2）鸡蛋碎了，那么操作次数为1+f(k-1,n-1)

因为在最坏的情况下，我们也要知道确切值，那么此时最小次数应该为 1+ max(f(k,n-x),f(k-1,x-1))。

而我们要得到全部尝试的最小次数，则是找到一个可以使得如上值最小的x。即 1+ min( max(f(k,n-x),f(k-1,x-1)) )

如果我们去遍历每一层楼，来求得这个最小值，那么复杂度为kn^2。这种方法在leetcode上会超出时间限制。

 

优化后的方法如下：

二分法+动态规划

首先在k不变的前提下：

（1）f(k-1,x-1)是随着x单调递增的，当x增大，f(k-1,x-1)也会增大

（2）f(k,n-x)是随着x单调递减的，当x增大，f(k,n-x)会减小

参考LeetCode这张图：

所以我们用二分法来寻找x的值，复杂度为kn log(n)。

实现代码如下：

func superEggDrop(k int, n int) int {
	dp := make([][]int, k+1)
	for i := 1; i <= k; i++ {
		dp[i] = make([]int, n+1)
		dp[i][1] = 1
	}
	for i := 0; i <= n; i++ {
		dp[1][i] = i
	}

	r := calculate(k, n, dp)
	return r
}

func calculate(k, n int, dp [][]int) int {
	if n == 0 {
		return 0
	}

    // 如果已经存储，就不需要再计算
	if dp[k][n] != 0 {
		return dp[k][n]
	}

	low := 1
	high := n

	for low+1 < high {
		x := (low + high) / 2
		t1 := calculate(k-1, x-1, dp)
		t2 := calculate(k, n-x, dp)

		if t1 < t2 {
			low = x
		} else if t1 > t2 {
			high = x
		} else {
			low = x
			high = x
		}
	}

	lAns := max(calculate(k, n-low, dp), calculate(k-1, low-1, dp))
	hAns := max(calculate(k, n-high, dp), calculate(k-1, high-1, dp))
	ans := 1 + min(lAns, hAns)
	dp[k][n] = ans
	return ans
}
func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

func min(a, b int) int {
	if a < b {
		return a
	}
	return b
}