代码随想录算法训练营第44天| 完全背包问题、518.零钱兑换II、377. 组合总和 Ⅳ

完全背包问题

题目描述：有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

解题思路：

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，

首先再回顾一下01背包的核心代码

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

完整代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

void slove(int n, int v){
    vector<int> weight;
    vector<int> value;
    int x,y;
    for (int i = 0; i < n; i++){
        cin>>x>>y;
        weight.push_back(x);
        value.push_back(y);
    }
    vector<int> dp(v+1,0);
    for (int i = 0; i < n; i++){
        for (int j = weight[i]; j<=v; j++){
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
        }
    }
    cout << dp[v];
}

int main(){
    int n, v;
    cin >> n >> v;
    slove(n,v);
}

518.零钱兑换II

题目链接：零钱兑换II

题目描述：给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

解题思想：

这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。

但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
2. 确定递推公式
   dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];
3. dp数组如何初始化
   首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
4. 确定遍历顺序
   如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
   如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

377. 组合总和 Ⅳ

题目链接：组合总和 Ⅳ

题目描述：给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

解题思想：

和上面的题思路相同，只不过一个是求组合数量，一个是求排列数量。

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<unsigned int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (unsigned int j = 0; j <= target; j++) {
            for (unsigned int i = 0; i < nums.size(); i++) {
                if (j >= nums[i])
                    dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};