C++ 计算二叉树的最大深度

1. 引言

在二叉树的基础问题中，计算二叉树的最大深度 是一个常见的问题。最大深度定义为：

从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。

本篇文章将详细讲解该问题的解法，并提供相关知识点，包括 递归解法、迭代解法 及其 时间复杂度分析。

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2. 递归解法（深度优先搜索 DFS）

2.1 递归思想

我们可以使用 递归 来求解最大深度：

1. 若树为空（即 root == nullptr），返回 0。
2. 递归计算左子树 maxDepth(root->left)。
3. 递归计算右子树 maxDepth(root->right)。
4. 取左右子树的最大值，并加 1 作为当前节点的深度。

2.2 代码实现

class Solution {
public:
    int maxDepth(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) {
            return 0;
        }
        int leftDepth = maxDepth(root->left);
        int rightDepth = maxDepth(root->right);
        return max(leftDepth, rightDepth) + 1;
    }
};

2.3 时间和空间复杂度分析

• 时间复杂度： 由于需要遍历每个节点一次，时间复杂度为 O(N)，其中 N 为节点数。
• 空间复杂度： 由于递归调用栈的深度最坏情况下可能达到 O(N)（退化成链表），平均情况下为 O(log N)（平衡二叉树）。

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3. 迭代解法（广度优先搜索 BFS）

3.1 迭代思想

我们也可以使用 广度优先搜索（BFS） 通过层序遍历计算最大深度：

1. 使用 queue 进行层次遍历，每遍历一层，深度 +1。
2. 遍历当前层的所有节点，并将其子节点加入队列。
3. 继续处理下一层，直到队列为空。

3.2 代码实现

#include <queue>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int maxDepth(TreeNode* root) {
        if (!root) return 0;
        queue<TreeNode*> q;
        q.push(root);
        int depth = 0;
        while (!q.empty()) {
            int size = q.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = q.front(); q.pop();
                if (node->left) q.push(node->left);
                if (node->right) q.push(node->right);
            }
            depth++;
        }
        return depth;
    }
};

3.3 时间和空间复杂度分析

• 时间复杂度： O(N)，所有节点都会被访问一次。
• 空间复杂度： O(N)，最坏情况下（完全二叉树的最后一层）队列存储 N/2 个节点。

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4. 递归与迭代的对比

方法	递归（DFS）	迭代（BFS）
适用情况	适用于树较深但递归不会导致栈溢出的情况	适用于层序遍历或避免递归栈溢出的情况
时间复杂度	O(N)	O(N)
空间复杂度	O(log N)（平衡树），最坏 O(N)	O(N)（最坏情况下存储最后一层的所有节点）

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5. 总结

• 递归方法（DFS） 适用于大多数情况，代码简洁直观，但深度过深时可能栈溢出。
• 迭代方法（BFS） 使用 queue 层序遍历，每层处理一次，适用于避免递归栈溢出的情况。

如果你正在准备 LeetCode 或 面试，建议两种方法都掌握，以便根据不同情况选择合适的方法！

希望本篇文章对你有所帮助，欢迎讨论更多关于二叉树的问题！