克鲁斯卡尔算法学习（Java）

最新推荐文章于 2024-11-27 09:40:32 发布

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#算法 #java

本文详细介绍克鲁斯卡尔算法的应用场景及原理，通过公交站问题深入浅出地讲解算法步骤，探讨如何判断回路并给出Java代码实现。

克鲁斯卡尔算法学习（Java）

学习视频：尚硅谷韩老师java讲解数据结构和算法

一、应用场景-公交站问题

在这里插入图片描述

某城市新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通
各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

二、克鲁斯卡尔算法介绍

2.1、以城市公交站问题来图解说明克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：

在含有 n 个顶点的连通图中选择 n-1 条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
在这里插入图片描述
例如，对于如上图 G4 所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树：

2.2、以上图 G4 为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组 R 保存最小生成树结果)。

在这里插入图片描述

第 1 步：将边<E,F>加入 R 中。边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
第 2 步：将边<C,D>加入 R 中。上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
第 3 步：将边<D,E>加入 R 中。上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
第 4 步：将边<B,F>加入 R 中。上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果 R 中。
第 5 步：将边<E,G>加入 R 中。上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
第 6 步：将边<A,B>加入 R 中。上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果 R 中。此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

三、克鲁斯卡尔算法分析和如何判断是否构成回路

3.1、算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 :对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 :将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一处理方式是：采用排序算法进行排序即可。
问题二处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

3.2、如何判断是否构成回路–举例说明

在这里插入图片描述
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树 R 中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

C的终点是 F。
D的终点是 F。
E的终点是 F。
F的终点是 F。

关于终点的说明：
5. 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
6. 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是 C 和 E 的终点都是 F，即它们的终点相同，因此，将<C,E> 加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

四、克鲁斯卡尔算法–公交站问题代码实现

package com.lxf.kruskal;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;

public class KruskalCase {
   
   
    private int edgeNum;//边的个数
    private char[] vertexs;//顶点数组
    private int[][] matrix;//邻接矩阵
    private int vLen;//顶点个数
    //使用INF表示两个顶点不能连通
    private static final int INF=Integer.MAX_VALUE;

    public static void main(String[] args) {
   
   
        char[] vertexs={
   
   'A','B','C','D','E','F','G'};
        //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
        int matrix[][] = {
   
   
                /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
        /*A*/ {
   
    0, 12