数学归纳法证明从N个数中取三个数的不同组合的总数为N(N-1)(N-2)/6

原创于 2020-02-27 23:42:47 发布 · 3.3k 阅读

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本文通过数学归纳法证明了从n个不同元素中选取3个元素的所有可能组合数量为n(n-1)(n-2)/6。首先验证了基础情况P(3)，然后通过归纳假设P(k)为真，证明了P(k+1)也成立。

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设P(n)为命题：从n个数中取三个数的不同组合的总数为 $n(n−1)(n−2)6\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ 。

基础步骤： P(3)为真，因为只有1种组合，而 $3∗(3−1)∗(3−2)6=1\frac{3*(3-1)*(3-2)}{6} = 1$ 。

归纳步骤： 归纳假设对正整数k > 3，P(k)为真。即假定从k个数中取三个数的不同组合的
$\quad\quad\quad\quad$ 总数为 $k(k−1)(k−2)6\frac{k(k-1)(k-2)}{6}$ 。必须证明：在归纳假设下，P(k+1)也为真。
$\quad\quad\quad\quad$ 即从k+1个数中取三个数的不同组合的总数为 $(k+1)k(k−1)6\frac{(k+1)k(k-1)}{6}$ 。

$\quad\quad$ 考虑从集合中剔除一个元素，这样一来就剩下k个数了，根据归纳假设，组合数为
$k(k−1)(k−2)6\frac{k(k-1)(k-2)}{6}$ ，每个元素被剔除的情况共有 $C_{k+1}^{1}=k+1$ 种，所以组合数共有
$(k+1)⋅k(k−1)(k−2)6(k+1)·\frac{k(k-1)(k-2)}{6}$ 种。但是，对于任一组合(a, b, c)而言，只要a, b, c都没有被剔除，
该组合就会被重复计数，所以一共重复了 $(k + 1) - 3 = k - 2$ 次，最终的结果为
$(k+1)⋅k(k−1)(k−2)6⋅1k−2=(k+1)k(k−1)6(k+1)·\frac{k(k-1)(k-2)}{6}·\frac{1}{k-2}=\frac{(k+1)k(k-1)}{6}$ 。
$\quad\quad$ 至此，已经完成了基础步骤和归纳步骤，根据数学归纳法原理可知：对所有正整数n>=3，P(n)为真。