数学定理证明杂记

外接圆证明正弦定理

只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。
1.若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。
∵ sin C = 1
（特殊角正弦函数值）
∴ $\frac{c}{sinC} = 2R$
2.若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC'交 ⊙O于C，连接C’A，显然BC’= 2r=R。
若∠C为锐角，则C’与C落于AB的同侧，
此时∠C’=∠C（同弧所对的圆周角相等）
∴在Rt△ABC’中有
$\frac{a}{sinC'} = \frac{a}{sinA}$ = 2r
若∠C为钝角，则C’与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C’=∠A，亦可推出
$\frac{a}{sinC'} = \frac{a}{sinA} = 2r$
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得
$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2r = R$
故对任意三角形，定理得证。

两个问题：
同弧所对圆周角相等
同弧所对圆心角是圆周角的2倍，而一条弧所对圆心角只有一个，所以同弧所对圆周角相等。参见（圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。（圆周角与圆心角的关系））
直角所对圆周角为90度
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.

证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
圆心角等于180度的情况呢？
看情况1的图，圆心角∠AOB=180度，圆周角是∠ACB，
显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2
∠OCB=∠OBC=∠AOC/2
所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ABC）/2=90度
所以2∠ACB=∠AOC
圆心角大于180度的情况呢？
看情况3的图，圆心角是（360度-∠AOB），圆周角是∠ACB，
只要延长CO交圆于点E，由圆心角等于180度的情况可知∠CAE=∠CBE=90度
所以∠ACB+∠AEB=180度，即∠ACB=180度-∠AEB
由情况2可知：∠AOB=2∠AEB
所以360度-∠AOB=2（180度-∠AEB）=2∠ACB

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推论：
1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；
3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
4.半圆（直径）所对的圆周角是直角。
5.90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。