蓝桥杯·全国青少年信息素养大赛·电子学会Python/C++考级：三分法求单峰函数最值解析

最新推荐文章于 2026-11-07 19:20:20 发布

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本文详解三分法在信息学竞赛中的核心应用：针对单峰/单谷函数，在无解析表达式或不可导条件下高效求解一维极值。涵盖整数三分与浮点三分的实现差异、典型题目建模（如加权平方和最小化）、时间复杂度O(n·log区间)、七大易错点（如收缩方向错误、非单峰误用）及进阶技巧（三分套三分、二分答案+三分检验）。适用于蓝桥杯、电子学会考级、信息素养大赛等赛事备赛。

引言

最近正是刷题备赛的黄金窗口：第十八届蓝桥杯软件赛报名 2026-10-08 10:00—12-18 14:00，省赛（C/C++·Python 程序设计）定在 2027-04-10 9:00–13:00；中国电子学会 2026 年 12 月软件编程考级（C/C++ 一级至十级、Python 一级至六级）报名 9/23–12/2 16:00、统考 12-12；全国青少年信息素养大赛 2026—2027 赛季的算法应用主题赛也进入备赛期。

这些赛事里有一类题特别常见：在一段区间里找一个"最优点"——舞台摆在哪最省脚力、注水到多高最划算、摊位开在哪客流最大……这类函数往往"先降后升、只有一个最低点"（单谷/单峰）。二分大家都会，但二分只能处理"单调或判定性"问题，遇到"极值"就不灵了。今天就来讲三分法（Ternary Search）：不依赖求导、不依赖闭式公式，只要函数单峰，就能在 O(log(区间/精度)) 步内逼近最值。

一、题目：校园科技节舞台最优点位

背景：校园里有一条笔直的文化长廊，坐标从 0 到 L（米）。有 n 个社团，第 i 个社团的代表常驻在坐标 p[i]，每次活动有 w[i] 名同学要从社团位置走到舞台。为减少大家的总奔波，希望选一个舞台位置 x（整数坐标，0 ≤ x ≤ L），使「不方便度」

f(x) = Σ w[i] · (x − p[i])²

尽可能小。求最小的不方便度，以及达到该值的一个 x。

输入：第一行 n L；接下来 n 行每行 p[i] w[i]（0 ≤ p[i] ≤ L，w[i] ≥ 1）。
输出：一行两个整数 x f(x)，即最优点坐标与最小不方便度。

样例输入

样例输出

46 11760

（加权平均 x = (3·10+1·20+4·30+2·60+5·80)/15 = 46，不舒服度 = 3·36²+1·26²+4·16²+2·14²+5·34² = 11760。）

注：本题的 f(x) 是开口向上的二次函数之和，凸函数，可直接用加权平均秒解。但真实比赛里 f(x) 常常来自实验散点、测量曲线，没有显式可微表达式——这时三分法就是"万能钥匙"：只要单峰，直接搜。

二、核心考点

单峰（单谷）函数：存在一点，使得函数在该点左侧严格递减、右侧严格递增（或含相等平台）。三分法只保证对单峰函数找到全局极值。
三分思想：在区间 [l, r] 内取两个三等分点 m1 = l + (r-l)/3、m2 = r - (r-l)/3（m1 < m2）。比较 f(m1) 与 f(m2)：
若 f(m1) < f(m2)：最小值不可能在 m2 右侧，收缩为 [l, m2]；
否则：最小值不可能在 m1 左侧，收缩为 [m1, r]。
每轮稳定砍掉约 1/3 区间。
整数三分 vs 浮点三分：位置是整数时用整数三分（最后 3 格暴力兜底）；位置是实数是浮点三分（用精度 eps 控制）。
复杂度：每轮三分把区间缩到 2/3，时间 O(log₃(区间跨度))（浮点为 O(log(1/eps))），与 n 相乘得 O(n·log)。空间 O(n) 存输入。
与二分/二分答案的区别：二分处理"是否满足某条件"的单调判定；二分答案是"答案有单调性、检验函数返回布尔"；三分处理"函数值本身单峰求极值"。三者不要混淆。

三、解法拆解

Python 版（整数三分 + 浮点三分对照）

def f(x, p, w):
    """不方便度：Σ w[i]·(x-p[i])²"""
    return sum(wi * (x - pi) ** 2 for pi, wi in zip(p, w))


def ternary_int(p, w, L):
    """整数三分：在 [0, L] 上求使 f 最小的整数 x"""
    l, r = 0, L
    while r - l > 2:
        m1 = l + (r - l) // 3
        m2 = r - (r - l) // 3
        if f(m1, p, w) < f(m2, p, w):
            r = m2
        else:
            l = m1
    # 区间只剩 3 格，暴力兜底取最小
    best = l
    for x in range(l + 1, r + 1):
        if f(x, p, w) < f(best, p, w):
            best = x
    return best


def ternary_double(p, w, L, eps=1e-9):
    """浮点三分：返回实数最优点（位置可连续时）"""
    l, r = 0.0, float(L)
    while r - l > eps:
        m1 = l + (r - l) / 3
        m2 = r - (r - l) / 3
        if f(m1, p, w) < f(m2, p, w):
            r = m2
        else:
            l = m1
    return (l + r) / 2


# 读入并求解
import sys
data = sys.stdin.read().strip().split()
if data:
    it = iter(data)
    n = int(next(it)); L = int(next(it))
    p, w = [], []
    for _ in range(n):
        p.append(int(next(it))); w.append(int(next(it)))
    x = ternary_int(p, w, L)
    print(x, f(x, p, w))

C++ 版（整数三分，竞赛常用写法）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n, L;
vector<int> p, w;

// 不方便度函数 f(x) = Σ w[i]·(x - p[i])²
long long f(int x) {
    long long s = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        long long d = x - p[i];
        s += 1LL * w[i] * d * d;   // 1LL 防 int 溢出
    }
    return s;
}

// 整数三分：在 [l, r] 上求使 f 最小的整数 x
int ternary_int(int l, int r) {
    while (r - l > 2) {
        int m1 = l + (r - l) / 3;
        int m2 = r - (r - l) / 3;
        if (f(m1) < f(m2)) r = m2;
        else                l = m1;
    }
    int best = l;
    for (int x = l + 1; x <= r; ++x)
        if (f(x) < f(best)) best = x;
    return best;
}

int main() {
    cin >> n >> L;
    p.resize(n); w.resize(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> p[i] >> w[i];
    int x = ternary_int(0, L);
    cout << x << " " << f(x) << "\n";
    return 0;
}

关键细节：m1、m2 是对称的三等分点，保证每轮区间严格缩小（不会卡住）。当区间缩到只剩 3 个整数时，直接暴力比较取最小——这一步兜底既保证整数精度，又避免取整边界把真最优漏掉。

四、时间与空间复杂度

时间：每轮三分把区间长度乘 2/3，约 log_{1.5}(区间) 轮；每轮算两次 f，单次 f 为 O(n)。整体 O(n·log(区间))。浮点版为 O(n·log(1/eps))。
空间：O(n) 存 p、w，常数级辅助变量。

相比"把每个整数位置都算一遍"的 O(n·L) 暴力，三分在区间大（如 L=10⁹）时优势碾压。

五、七个易错点

在非单峰函数上用三分：三分只对单峰/单谷成立。若函数有多个波谷（如 sin 叠加），三分只能找到"局部"极值。务必先判断单调性结构。
三等分点取错：写成 m1 = l+1, m2 = r-1 这类"相邻两点"，区间不按 1/3 收缩，效率骤降甚至死循环。必须 l+(r-l)/3 与 r-(r-l)/3。
收缩方向写反：f(m1) < f(m2) 时应保留左段 [l, m2]（最小值在更低的那一侧及其左边），若误写成 [m1, r] 会把真解丢掉。牢记"比小的那边更可能含谷底"。
整数三分不做兜底：缩到 r-l ≤ 2 后若直接返回 l 或 m1，取整误差会让答案偏离 1~2 格。加一个 3 格暴力最稳。
浮点 eps 不当：eps 太大答案粗糙，eps 太小（如 1e-12 又无迭代上限）可能卡边界超时。可改为"固定迭代 60~80 次"或 eps 配 r-l > eps 双保险。
最大值与最小值符号混淆：求最大值时比较方向、收缩方向要与求最小值整体取反处理，别只改一处。
溢出：w[i]·(x-p[i])² 在 w、L 较大时轻松超 int。C++ 用 long long + 1LL 强转；Python 无此忧，但交 C++ 版务必注意。

六、进阶

三分套三分（二维最值）：当最优由两个变量 x, y 决定且对每个 x，g(x)=min_y f(x,y) 仍单峰，可对 x 三分、内部对 y 三分，复杂度相乘。
二分答案 + 三分检验：答案有单调性（越大越"不可行"），但"检验某个答案是否可行"的代价函数本身单峰——外层二分、内层三分，是蓝桥杯难题常见组合。
三分求最大值：把比较方向翻转即可，或直接最小化 −f(x)。
非平滑单峰：若函数在谷底附近有微小抖动（测量噪声），可在三分结果附近再做一个小窗口暴力微调，提升鲁棒性。
与导数/梯度下降对比：三分不要求函数可导、不要求给公式，只要能"黑盒求值"即可，这是它相对牛顿法/梯度下降的最大优势；代价是只能处理一维单峰。
典型赛题联想：抛物线路径的最优点、注水裁剪的最优高度、摊位/基站布点、最长"先增后减"子段的最值、资源分配使最大代价最小等，很多都能建模成单峰极值。