【漫话机器学习系列】037.行列式（Determinants）

行列式（Determinants）

行列式是线性代数中的一个重要概念，它是与方阵（即行数与列数相同的矩阵）相关联的一个标量。行列式广泛应用于解线性方程组、矩阵的性质分析（如可逆性）以及许多科学和工程问题中。

---

行列式的定义

给定一个 n×n 方阵 A，行列式用 或 表示。行列式是通过矩阵元素的某种组合计算得到的标量。

简单例子

1. 2阶矩阵 对于 2×2 矩阵：

   

   它的行列式为：

   

2. 3阶矩阵 对于 3×3 矩阵：

   

   它的行列式为：

   

   或者用扩展法计算（按行展开）。

---

行列式的性质

1. 矩阵的可逆性

   • 如果 ，则矩阵 是可逆的（即存在逆矩阵）。
   • 如果 ，则矩阵 是奇异矩阵，不可逆。

2. 行列互换

   • 交换矩阵的两行或两列，行列式的符号会改变。

3. 行列倍加

   • 如果矩阵的某一行或某一列乘以常数 k，行列式的值也会乘以 k。

4. 行列式的线性性

   • 如果矩阵的一行是两个向量之和，则行列式等于分别计算这两个向量对应的行列式之和。

5. 对角矩阵的行列式

   • 对于对角矩阵或三角矩阵，行列式等于对角线元素的乘积。

6. 行列式与矩阵的乘法

   • 对于两个 n×n 矩阵 和 ：
     
                                     

---

行列式的几何意义

行列式的绝对值可以表示由矩阵的列向量或行向量定义的 n-维平行多面体的体积。例如：

1. 对于 2×2 矩阵，行列式的绝对值表示二维平行四边形的面积。
2. 对于 3×3 矩阵，行列式的绝对值表示三维平行六面体的体积。

行列式的符号则表示矩阵引起的空间变换是否翻转，例如是否包含反射。

---

计算行列式的方法

1. 直接计算

   • 对于小规模矩阵（如 2×2 或 3×3），可以直接使用公式计算。

2. 按行展开（Laplace 展开）

   • 按某一行或某一列展开，将行列式分解成较低阶行列式的和。

3. LU分解法

   • 如果将矩阵 分解为下三角矩阵 和上三角矩阵 的乘积，则：
     
     

4. 特征值计算

   • 矩阵的行列式等于矩阵特征值的乘积。

---

Python 示例代码

以下为计算行列式的示例代码：

import numpy as np

# 定义矩阵
A = np.array([[2, 3],
              [1, 4]])

# 计算行列式
det_A = np.linalg.det(A)

print("矩阵 A:")
print(A)
print(f"矩阵 A 的行列式: {det_A}")

对于一个 3×3 矩阵：

import numpy as np

# 定义矩阵
B = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

# 计算行列式
det_B = np.linalg.det(B)

print("矩阵 B:")
print(B)
print(f"矩阵 B 的行列式: {det_B}")

---

行列式的应用

1. 线性方程组的解

   • 使用克拉默法则（Cramer's Rule）通过行列式求解线性方程组。

2. 矩阵的可逆性判断

   • 判断矩阵是否可逆，以及逆矩阵的求解。

3. 几何变换

   • 行列式在几何变换中的应用包括计算变换的缩放因子和翻转检测。

4. 特征值分解

   • 行列式用于特征值计算，尤其在特征方程 中。

---

总结

行列式是描述矩阵性质的重要工具，特别是在线性代数、几何和应用数学中。理解行列式的定义、性质和计算方法，可以帮助解决多种实际问题，例如线性方程组、几何变换和数值分析等问题。