bzoj2588 [主席树+LCA]

本文介绍了一种在树形结构中使用主席树解决路径上第K小元素问题的方法。通过为每个节点建立从该节点到根节点的权值线段树,并利用主席树的特性,可以有效地查询任意两点间路径上的第K小值。文章详细阐述了算法的实现过程,包括节点的DFS遍历、主席树的构建与更新,以及LCA算法的应用。

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题意:给出一棵树,m次询问,每次询问u到v路径上的第k小
题解:参照前缀和的思想对于每个结点建立从当前结点到根节点的权值线段树,每个节点单独建树显然会MLE,由于每个结点只比父节点多了一个当前结点的数据,所以可以使用主席树的方式建立权值线段树,显然主席树可以求区间第k小,u到v的区间可以用root[u]+root[v]-root[LCA(u,v)]-root[fa[LCA(u,v)]]得到

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
#define debug(x) cout<<#x<<" is "<<x<<endl;

const int maxn=2e5+5;

struct Nod{
    int lson;
    int rson;
    int val;
}nod[maxn*27];

struct edge{
    int fr;
    int to;
    int nex;
}e[maxn<<1];

int cnt,dep[maxn],root[maxn],a[maxn],tot,tot2,head[maxn],b[maxn],dfn[maxn],dfn2[maxn],fa2[27][maxn];

void dfs(int rt,int fa){
    dfn[++tot]=rt;
    dfn2[rt]=tot;
    fa2[0][rt]=fa;
    for(int i=head[rt];i!=-1;i=e[i].nex){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa)continue;
        dep[v]=dep[rt]+1;
        dfs(v,rt);
    }
}


void adde(int fr,int to){
    e[cnt].fr=fr;
    e[cnt].to=to;
    e[cnt].nex=head[fr];
    head[fr]=cnt++;
}

void build(int &rt,int l,int r){
    rt=++tot2;
    nod[rt].lson=l;
    nod[rt].rson=r;
    nod[rt].val=0;
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;
    build(nod[rt].lson,l,mid);
    build(nod[rt].rson,mid+1,r);
}

void pushup(int rt){
    nod[rt].val=nod[(nod[rt].lson)].val+nod[(nod[rt].rson)].val;
}

void update(int &rt,int pre,int l,int r,int val){
    rt=++tot2;
    nod[rt].lson=nod[pre].lson;
    nod[rt].rson=nod[pre].rson;
    nod[rt].val=nod[pre].val;
    if(l==r){
        nod[rt].val++;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(mid>=val)update(nod[rt].lson,nod[pre].lson,l,mid,val);
    else update(nod[rt].rson,nod[pre].rson,mid+1,r,val);
    pushup(rt);
}

int query(int rt1,int rt2,int rt3,int rt4,int k,int l,int r){
    int num=nod[nod[rt1].lson].val+nod[nod[rt2].lson].val-nod[nod[rt3].lson].val-nod[nod[rt4].lson].val;
    if(l==r)return l;

    int mid=(l+r)>>1;
    if(num>=k)return query(nod[rt1].lson,nod[rt2].lson,nod[rt3].lson,nod[rt4].lson,k,l,mid);
    else return query(nod[rt1].rson,nod[rt2].rson,nod[rt3].rson,nod[rt4].rson,k-num,mid+1,r);

}

int LCA(int u,int v){
    if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
    int w=dep[u]-dep[v];
    for(int i=20;i>=0;i--){
        if((w>>i)&1){
            u=fa2[i][u];
        }
    }
    for(int i=20;i>=0;i--){
        if(fa2[i][u]!=fa2[i][v]){
            u=fa2[i][u];
            v=fa2[i][v];
        }
    }
    if(u!=v){
        u=fa2[0][u];
    }
    return u;
}

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);b[i]=a[i];}
    for(int i=1;i<n;i++){int aw,bw;scanf("%d%d",&aw,&bw);adde(aw,bw);adde(bw,aw);}
    sort(b+1,b+1+n);
    int siz=unique(b+1,b+1+n)-(b+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=lower_bound(b+1,b+1+siz,a[i])-b;
    }

    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<21;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(fa2[i-1][j])fa2[i][j]=fa2[i-1][fa2[i-1][j]];
            else fa2[i][j]=0;
        }
    }

    build(root[0],1,siz);

    for(int i=1;i<=tot;i++){
        update(root[dfn[i]],root[fa2[0][dfn[i]]],1,siz,a[dfn[i]]);
    }

    int lastans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,k;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&k);
        u^=lastans;
        int lca=LCA(u,v);
        lastans=b[query(root[u],root[v],root[lca],root[fa2[0][lca]],k,1,siz)];
        printf("%d",lastans);
        if(i!=m)printf("\n");
    }

    return 0;
}

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